第一章隨機事件及其概率
§1.1 隨機事件
一、給出事件描述，要求用運算關係符表示事件：
二、給出事件運算關係符，要求判斷其正確性：
§1.2 概率
古典概型公式：p（a）=實用中經常採用「排列組合」的方法計算
補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？
解：設a：「每個盒子恰有1個球」。求：p(a)=？ω所含樣本點數：
α所含樣本點數：
補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數的最大數分別為1、2、3的概率各是多少？
解：設ai ：「信箱中信的最大封數為i」。(i =1,2,3)求：p(ai)=？
ω所含樣本點數：
a1所含樣本點數：
a2所含樣本點數：
a3所含樣本點數：
注：由概率定義得出的幾個性質：
1、02、p(ω)=1，p(φ) =0
§1.3 概率的加法法則
定理：設a、b是互不相容事件（ab=φ），則：
p（a∪b）=p（a）+p（b）
推論1：設a1、 a2、…、 an 互不相容，則
p(a1+a2+...+ an)= p(a1) + p(a2) +…+ p(an)
推論2：設a1、 a2、…、 an 構成完備事件組，則
p(a1+a2+...+ an)=1
推論3： p（a）=1－p（）
推論4：若ba，則p(b－a)= p(b)－p(a)
推論5（廣義加法公式）：
對任意兩個事件a與b，有p(a∪b)=p(a)+p(b)－p(a b)
補充——對偶律：
§1.4 條件概率與乘法法則
條件概率公式：p(a/b)=（p(b)≠0）p(b/a)=（p(a)≠0）
∴p（ab）=p（a/b）p（b）= p（b / a）p（a）
有時須與p（a+b）=p（a）+p（b）－p（ab）中的p（ab）聯絡解題。
全概率與逆概率公式：
全概率公式：
逆概率公式：
（注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）
§1.5 獨立試驗概型
事件的獨立性：
貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）：課本p24
另兩個解題中常用的結論——
1、定理：有四對事件：a與b、a與、與b、與，如果其中有一對相互獨立，則其餘三對也相互獨立。
2、公式：
第二章隨機變數及其分布
一、關於離散型隨機變數的分布問題
1、求分布列：
⑴確定各種事件，記為ξ寫成一行；
⑵計算各種事件概率，記為p k寫成第二行。得到的錶即為所求的分布列。
注意：應符合性質——1、（非負性） 2、（可加性和規範性）
補例1：將一顆骰子連擲2次，以ξ表示兩次所得結果之和，試寫出ξ的概率分布。
解：ω所含樣本點數：6×6=36
所求分布列為：
補例2：一袋中有5只桌球，編號1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以ξ表示取出3只球中最大號碼，試寫出ξ的概率分布。
解：ω所含樣本點數： =10
所求分布列為：
2、求分布函式f(x)：
分布函式
二、關於連續型隨機變數的分布問題：
x∈r，如果隨機變數ξ的分布函式f（x）可寫成f（x）=，則ξ為連續型。稱概率密度函式。
解題中應該知道的幾個關係式
第三章隨機變數數字特徵
一、求離散型隨機變數ξ的數學期望eξ=？
數學期望（均值）
二、設ξ為隨機變數，f(x)是普通實函式，則η=f(ξ)也是隨機變數，求eη=?
以上計算只要求這種離散型的。
補例1：設ξ的概率分布為：
求：⑴，的概率分布；⑵。
解：因為
所以，所求分布列為：
和：當η=ξ－1時，eη=e（ξ－1）
=－2×+(－1)×+0×+1×+×
=1/4
當η=ξ2時，eη=eξ2=1×+0×+1×+4×+×
=27/8
三、求ξ或η的方差dξ=？ dη=？
實用公式=－
其中， ==
=補例2：
求：e ξ 和d ξ
解： =－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
=2－=2.8－（－0.2）2=2.76
第四章幾種重要的分布
常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）
解題中經常需要運用的e ξ和d ξ的性質（同志們解題必備速查表）
第五章引數估計
§8.1 估計量的優劣標準（以下可作填空或選擇）
⑴若總體引數θ的估計量為，如果對任給的ε>0，有
，則稱是θ的一致估計；
⑵如果滿足，則稱是θ的無偏估計；
⑶如果和均是θ的無偏估計，若，則稱是比有效的估計量。
§8.3 區間估計：
幾個術語——
1、設總體分布含有一位置引數，若由樣本算得的乙個統計量及，對於給定的（0<<1）滿足：
則稱隨機區間（，）是的100（1－）％的置信區間，和稱為的100（1－）％的置信下、上限，百分數100（1－）％稱為置信度。
一、求總體期望（均值）e ξ的置信區間
1、總體方差已知的型別
①據，得＝1－，反查表（課本p260表）得臨界值；
②= ③求d= ④置信區間（-d， +d）
補簡例：設總體隨機取4個樣本其觀測值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值μ的95%的置信區間。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴φ（uα）=1－=0.975，反查表得：uα=1.96
②③∵σ=0.3，n=4 ∴d===0.29
④所以，總體均值μ的α=0.05的置信區間為：
（－d，＋d）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2、總體方差未知的型別（這種型別十分重要！務必掌握！！）
①據和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本p262表）得；
②確定=和
③求d置信區間（-d， +d）
注：無特別宣告，一般可保留小數點後兩位，下同。
二、求總體方差的置信區間
①據α和自由度n－1（n為樣本數），查表得臨界值：
和②確定=和
③上限下限
④置信區間（下限，上限）
典型例題：
補例1：課本p166之16 已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態分佈，對10個試件作橫紋抗壓力試驗得資料如下（單位：kg/cm2）:
482493457471510
446435418394469
試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區間估計（α＝0.04）。
解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n－1=9
∴查表得， ==19.7
==2.53
②===457.5
= [++…+]
=1240.28
③上限===4412.06
下限===566.63
④所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區間為（566.63，4412.06）
第六章假設檢驗
必須熟練掌握乙個正態總體假設檢驗的執行標準
一般思路：
1、提出待檢假設h02、選擇統計量3、據檢驗水平，確定臨界值4、計算統計量的值5、作出判斷
檢驗型別⑵：未知方差，檢驗總體期望(均值)μ
①根據題設條件，提出h0: = (已知)；
②選擇統計量；
③據和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本p262表）得；④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；
⑤作出判斷
典型例題：
對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查5個，得到爆破壓力的資料（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據經驗爆破壓認為是服從正態分佈的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2 ，問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異？
（α=0.05）解：h0:
= 549選擇統計量
∵=0.05，n－1=4，∴查表得： =2.776又∵==543
s2==57. = =1.77<2.776
∴接受假設，即認為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。
檢驗型別⑶：未知期望(均值)μ，檢驗總體方差
①根據題設條件，提出h0: = (已知)；②選擇統計量；
③據和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本p264表）得臨界值：和；
④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；
⑤若《則接受假設，否則拒絕!
補例：某廠生產銅絲的折斷力在正常情況下服從正態分佈，折斷力方差=64，今從一批產品中抽10根作折斷力試驗，試驗結果（單位：公斤）：
578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64？（α=0.
05）解： h0: =64
選擇統計量
∵=0.05，n－1=9，∴查表得： ==2.7==19
又∵==575.2s2==75.73
∴=2.7<<=19
∴接受假設，即認為這批銅絲折斷力的方差也是64。
第1章隨機事件及其概率
概率論與數理統計知識點總結
第一章隨機事件及其概率 1 隨機事件 一 給出事件描述，要求用運算關係符表示事件 二 給出事件運算關係符，要求判斷其正確性 2 概率 古典概型公式 p a 實用中經常採用 排列組合 的方法計算 例1 將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？解 設a 每個盒子恰有1個球 求 p...
概率論與數理統計知識點總結
第一章隨機事件及其概率 1 隨機事件 一 給出事件描述，要求用運算關係符表示事件 二 給出事件運算關係符，要求判斷其正確性 2 概率 古典概型公式 p a 實用中經常採用 排列組合 的方法計算 例1 將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？解 設a 每個盒子恰有1個球 求 p...
概率論與數理統計知識
知識要點 一概念 1 隨機事件 用等表示 互不相容 互逆 且，此時，互逆互不相容 反之不行 相互獨立 或 2 隨機事件的運算律 1 交換律 2 結合律 3 分配律 4 de morgen 律 對偶律 推廣 3 隨機事件的概率 有界性若則條件概率 4 隨機變數 用大寫表示 若與相互獨立的充分必要條件是...