【命題趨向】
1．高考試題通過選擇題和填空題，以及大題的解集，全面考查集合與簡易邏輯的知識，題型新，分值穩定．一般佔5---10分．
2．簡易邏輯一部分的內容在近兩年的高考試題有所出現，應引起注意．
【考點透視】
1．理解集合、子集、補集、交集、並集的概念.
2．了解空集和全集的意義.
3．了解屬於、包含、相等關係的意義.掌握有關的術語和符號，並會用它們正確表示一些簡單的集合．
4．解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對於用描述法給出的集合,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質p；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題.
5．注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如ab,則有a=或a≠兩種可能，此時應分類討論.
【例題解析】
題型1． 正確理解和運用集合概念
理解集合的概念,正確應用集合的性質是解此類題目的關鍵.
例1.已知集合m=,n=，則m∩n=（ ）
a．（0，1），（1，2） b．c． d．
思路啟迪：集合m、n是用描述法表示的，元素是實數y而不是實數對(x,y)，因此m、n分別表示函式y=x2＋1(x∈r)，y=x＋1(x∈r)的值域，求m∩n即求兩函式值域的交集．
解：m==， n==．
∴m∩n=∩=,∴應選d．
點評：①本題求m∩n，經常發生解方程組
從而選b的錯誤，這是由於在集合概念的理解上，僅注意了構成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什麼．事實上m、n的元素是數而不是點，因此m、n是數集而不是點集．②集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區分、、，這三個集合是不同的．
例2.若p=，q=，則p∩q等於（ ）
a．p b．q c． d．不知道
思路啟迪：類似上題知p集合是y=x2（x∈r）的值域集合，同樣q集合是y= x2＋1（x∈r）的值域集合，這樣p∩q意義就明確了．
解：事實上，p、q中的代表元素都是y，它們分別表示函式y=x2,y= x2＋1的值域，由p=,q=，知qp，即p∩q=q．∴應選b．
例3. 若p=，q=，則必有（ ）
a．p∩q= b．p q c．p=q d．p q
思路啟迪：有的同學一接觸此題馬上得到結論p=q，這是由於他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈r相同，而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的，p集合是函式值域集合，q集合是y=x2,x∈r上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物．
解：正確解法應為： p表示函式y=x2的值域，q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此p∩q=．∴應選a．
例4（2023年安徽卷文）若，則= （ ）
a． b． c． d．
思路啟迪：
解：應選d．
點評：解此類題應先確定已知集合．
題型2．集合元素的互異性
集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識．
例5. 若a=,b=，且a∩b=，則實數的值是________．
解答啟迪：∵a∩b=，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． a=，集合b中的元素是什麼，它是否滿足元素的互異性，有待於進一步考查．
當=1時， 2－2＋2=1，與元素的互異性相違背，故應捨去=1．
當=－1時，b=，與a∩b=相矛盾，故又捨去=－1．
當=2時，a=,b=，此時a∩b=，滿足題設．
故=2為所求．
例6. 已知集合a=，b=．若a=b，則c的值是______．
思路啟迪：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數學思想，此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關係式．
解：分兩種情況進行討論．
（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，
=0時，集合b中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時，b中的三元素又相同，此時無解．
（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
點評：解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題後進行檢驗和修正．
例7.已知集合a=,b=，且a∪b=a，則的值為______．
思路啟迪：由a∪b=a而推出b有四種可能，進而求出的值．
解： ∵ a∪b=a，
∵ a=，∴ b=或b=或b=或b=．
若b=，則令△<0得∈；
若b=，則令△=0得=2，此時1是方程的根；
若b=，則令△=0得=2，此時2不是方程的根，∴∈；
若b=則令△>0得∈r且≠2，把x=1代入方程得∈r，把x=2代入方程得=3．
綜上的值為2或3．
點評：本題不能直接寫出b=，因為－1可能等於1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合b有可能是空集，還有可能是單元素集的情況．
題型3．要注意掌握好證明、判斷兩集合關係的方法
集合與集合之間的關係問題，是我們解答數學問題過程中經常遇到，並且必須解決的問題，因此應予以重視．反映集合與集合關係的一系列概念，都是用元素與集合的關係來定義的．因此，在證明（判斷）兩集合的關係時，應回到元素與集合的關係中去．
例8.設集合a=，集合b=，則集合a、b的關係是
解：任設∈a，則=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈z)，
∴ n∈z,∴n＋1∈z.∴∈b,故． ①
又任設 b∈b，則 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈z),
∵ k∈z,∴k－1∈z.∴ b∈a，故 ②
由①、②知a=b．
點評：這裡說明∈b或b∈a的過程中，關鍵是先要變（或湊）出形式，然後再推理．
例9（2023年江蘇卷）若a、b、c為三個集合，，則一定有（ ）
a . b . c . d .
[考查目的]本題主要考查集合間關係的運算.
解：由知，，故選a.
（2023年福建卷文）已知全集，且，，則等於 （ c ）
a． b． c． d．
例10．（2023年遼寧卷）設集合,則滿足的集合b的個數是（ ）
a . 1 b .3 c .4 d . 8
[考查目的] 本題考查了並集運算以及集合的子集個數問題，同時考查了等價轉化思想.
解：，，則集合b中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集個數問題，所以滿足題目條件的集合b共有個.故選c.
例11．（2023年北京卷文）
記關於的不等式的解集為，不等式的解集為．
（）若，求；
（）若，求正數的取值範圍．
思路啟迪：先解不等式求得集合和．
解：（）由，得．
（）．由，得，又，所以，
即的取值範圍是．
題型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是乙個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的並集仍等於這個集合．當題設中隱含有空集參與的集合關係時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發解題失誤．
例12. 已知a=,b=且a∪b=a，則實數組成的集合c是
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．當x=1時， =2，當x=2時， =1．
這個結果是不完整的，上述解答只注意了b為非空集合，實際上，b=時，仍滿足a∪b=a，當=0時，b=，符合題設，應補上，故正確答案為c=．
例13．（2023年北京卷理）已知集合，．若，則實數的取值範圍是
思路啟迪：先確定已知集合a和b．
解： 故實數的取值範圍是．
例14. 已知集合a=，若a∩=，則實數m的取值範圍是
思路啟迪：從方程觀點看，集合a是關於x的實係數一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由a∩=可知該方程只有兩個負根或無實數根，從而分別由判別式轉化為關於m的不等式，並解出m的範圍．
解：由a∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
點評：此題容易發生的錯誤是由a∩=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把a=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言．
例15.已知集合a=，集合b=．若ba，則實數p的取值範圍是________．
解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使ba，只須∴ p的取值範圍是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論，即b=時，符合題設．
應有：①當b≠時，即p＋1≤2p－1p≥2．
由ba得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②當b=時，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
點評：從以上解答應看到：解決有關a∩b=、a∪b=，ab等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．
題型5．要注意利用數形結合解集合問題
高考數學專題集合的概念與運算技巧
第一講集合的概念與運算技巧 命題趨向 1 高考試題通過選擇題和填空題，以及大題的解集，全面考查集合與簡易邏輯的知識，題型新，分值穩定 一般佔5 10分 2 簡易邏輯一部分的內容在近兩年的高考試題有所出現，應引起注意 考點透視 1 理解集合 子集 補集 交集 並集的概念.2 了解空集和全集的意義.3 ...
第一講集合的概念與運算技巧
命題趨向 1 高考試題通過選擇題和填空題，以及大題的解集，全面考查集合與簡易邏輯的知識，題型新，分值穩定 一般佔5 10分 2 簡易邏輯一部分的內容在近兩年的高考試題有所出現，應引起注意 考點透視 1 理解集合 子集 補集 交集 並集的概念.2 了解空集和全集的意義.3 了解屬於 包含 相等關係的意...
1 1集合的概念與運算
2014高考會這樣考 1.考查集合中元素的互異性，以集合中含引數的元素為背景，探求引數的值 2.求幾個集合的交 並 補集 3.通過集合中的新定義問題考查創新能力 複習備考要這樣做 1.注意分類討論，重視空集的特殊性 2.會利用venn圖 數軸等工具對集合進行運算 3.重視對集合中新定義問題的理解 1...