線性代數常考知識點總複習
第一章行列式
一二階行列式
二三階行列式
三 n階行列式
1余子式： 去掉這個元素所在的行，去掉所在的列，其它元素構成的行列式
2代數余子式：。（考試的時候千萬不要拉了前面的(-1)i+j）。
3行列式按行（列）展開：行列式的值等於行列式的任意一行（列）與其對應元素代數余子式乘積之和。例如
四行列式性質
性質1：行列式和它的轉置行列式的值相同
例如性質2： 行列式某行（列）有公因子可將其提出
例如： （第一行有公因子2，可將其提出）
性質3：行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上行列式的值不變。
例如： （將第一行的-2倍加到第二行上行列式的值不變）
性質4：互換行列式的任意兩行（列）行列式改變符號。
例如： （第一行與第二行交換，行列式前面加乙個負號）
性質5：行列式有兩行相同，行列式的值=0
例如：（行列式第一行與第二行相同，值=0）
性質6：行列式對應元素成比例，行列式的值=0
例如：（第一行與第二行對應元素成比例，行列式的值等於0）
性質7： 行列式可按行（列）拆開
例如：定理：行列式一行與另外一行對應元素的代數余子式成績之和為0
對於：根據該定理可得，行列式的第一行元素與第二行的對應元素的代數余子式乘積之和應該等於0，即：
五行列式的計算：（考試必考，一定要會）
1 化為上三角（利用行列式某行的k倍加到另一行上，行列式的值不變的性質，將其化為階梯型矩陣。）。三角行列式的值等於主對角線元素的乘積。
例如2 按行（列）展開
例如六範德蒙行列式
七克拉默法則
對於n個未知數n個方程的方程組，它們的係數矩陣可以組成方陣行列式
如果 對於齊次線性方程組只有0解
對於非其次線性方程組只有唯一解
第二章矩陣
一數乘ka
例如:二乘法例如
三轉置at（將a的第一行變成第一列，第二行變成第二列 -----第n行變成第n列，所得到的矩陣）。
例如：，則a的轉置
性質：1
性質：2
性質：3
性質：4
對稱矩陣a=at
反對稱矩陣a=-at
四方陣行列式（考試必考）
，n為方陣a的階數
|ab|=|a||b|
|at|=|a|
五逆矩陣
1 伴隨矩陣 a*(a的第一行元素的代數余子式寫成第一列，第二行的代數余子式寫成第二列。。。。第n行的代數余子式寫成第n列，組成的矩陣為a*。
（1） 則
（2）2逆矩陣 ab=ba=e （a乘以誰等於e則誰就是a的逆矩陣）
（1）（2）（3）（記住，考試直接用）
（4）a為分塊矩陣且為準對角矩陣，即
，則，六初等方陣（單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣）
一共有三種初等方陣
（1）交換兩行（列）得到的初等方陣
（將第一行與第二行交換即可得到，或者交換第一列與第二列）
，即交換兩行或者兩列得到的初等方陣的逆矩陣就等於它本身。
（2）將某行（列）乘上乙個非零常數得到的矩陣
（將第二行乘以3，或者第二列乘以3）
，即將某行乘以k得到的初等方陣的逆矩陣相當於把原來的k變成了1/k得到的矩陣。
（3）將某行（列）的k倍加到另一行（列）上得到的初等方陣
（將第一行的3倍加到第三行，或將第三列的3倍加到第一列）
，它的逆矩陣等於本身中的3變為-3得到的矩陣。
七求逆矩陣 (將a與e組成乙個新的矩陣，利用初等行變換使a變成e（單位矩陣），則e變為a的逆矩陣) ，用公式表示則為：
八解矩陣方程
1解法（共有兩種方法）：
（１）兩邊同時左乘以，則
（２）將ａ與ｂ組成新的矩陣（ａ，ｂ），利用行變換（只能進行行變換）將ａ變成ｅ則ｂ變為ｘ即：
2解法（共有兩種方法）：
（１）兩邊同時右乘以，則
（２）將ａｔ與ｂｔ組成新的矩陣（ａｔ，ｂｔ），將（ａｔ，ｂｔ）利用行變換將ａｔ變成ｅ則ｂｔ變為ｘt，x=(ｘt)t
即：，x=(ｘt)t
九矩陣的秩：非零子式的最高端數
求法：1將其化為階梯型矩陣
2求非零行的行數。
第三章向量
一線性相關性判斷
1線性相關：至少有乙個向量可以用其它向量表示
例如：，所以它們線性相關。
2線性無關：任何乙個向量都不能用其他向量表示。（誰也不能表示誰）
例如：誰也不能表示誰，所以它們線性無關。
3 即：
如果該方程組有非零解則線性相關
如果該方程組只有零解則線性無關
（a）對於單個向量線性相關
線性無關
只要含有零向量的向量組肯定線性相關。
（b）對於兩個非零向量。 如果相關，則它們的對應元素成比例。
（c）當向量的個數大於向量的維數必線性相關。
二相關定理：
1 線性無關，增加後線性相關則可以推出可以用，且表示方法唯一。
2線性相關，則也線性相關。
3 ，它們線性無關
則可以推出，也線性無關
與線性相關
則與也線性相關
三向量組的秩：向量組中線性無關的個數。
等價向量組有相同的秩
（1）向量個數大於向量維數必線性相關
例如：。
向量個數為3個，向量的維數為2維，所以它們必定線性相關。
（2）向量個數=向量維數，它們可構成行列式。線性相關線性無關
一般情況下：（a）向量個數大於向量組的秩必相關
b）向量個數等於向量組的秩必無關
四求向量組的極大線性無關組與秩並用其表示其它向量。（已知，求它們的極大線性無關組與秩，並用找出的極大線性無關組表示其它向量）
解：（1）將向量組按列排成矩陣a
（2）將a其化為階梯型矩陣（非零行的行數即為向量組的秩）b
（3）將b其化為行最簡c（每行的第乙個非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）
（4）找c的極大無關組並表示其它向量。
五維數：自由未知量的個數
第四章線性方程組
二齊次線性方程組 ax=0（a為係數矩陣）
1解得情況：
有非零解：n>r a的列數（未知數個數）> a的秩（或者a的列向量線性相關）
只有零解：n=r a的列數（未知數個數）=a的秩（或者a的列向量線性無關）
特別情況
有n個未知數n個方程的齊次線性方程組（這時係數矩陣a是乙個方陣）
齊次線性方程組有非零解
齊次線性方程組只有零解
2基礎解系
1 線性無關（誰也不能表示誰）
2 解向量的個數： (a的列數（未知數個數）--a的秩)（必須記住）
3均為ax=0的解
3齊次線性方程組的解法
（1）寫出係數矩陣a
（2）將a化為行最簡（每行的第乙個非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）
（3）寫同解方程組
（4）選定自由未知量（解出同解方程組中每乙個方程的第乙個未知數，等號後面的取為自由未知量並設為k，有幾個未知量設幾個k）
（5）寫通解
三非齊次線性方程組ax=b（a為係數矩陣）
1解的情況 ：（必會）
（1）有解的條件：r(a,b)=r(a)
有唯一解： r(a,b)=r(a)= n a的列數（或者未知數個數）
有無窮多解：r(a,b)=r(a)（2）無解：r(a,b) r(a)
（3）解的表示：
（4）特別情況：n個未知數n個方程（係數矩陣是方陣，可以組成方陣行列式）
非齊次線性方程組有唯一解
r(a,b)=r(a)且非齊次線性方程組有無窮多解
2非齊次線性方程組的解法（必會）
（1）寫出增廣矩陣
（2）將其化為階梯型矩陣
（3）判斷解的情況r(a,b)=r(a)
（4）在有解時化為行最簡（每行的第乙個非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）
（5）寫出同解方程組
（6）選定自由未知量（解出同解方程組中每乙個方程的第乙個未知數，等號後面的取為自由未知量並設為k，有幾個未知量設幾個k）
（7）寫出通解
第四章特徵值與特徵向量
一求解特徵值與特徵向量(ap=p)
1寫出特徵方程並化簡求得特徵值
求解特徵值的方法（如何化簡特徵多項式）
(1)若某行（列）0比較多可按其展開
(2)若每行（列）之和相同可將後幾列加到第一列上並提取公因子
(3)將某行（列）的k倍加到另一行（列）上使其能夠提取公因子
2將特徵值帶入齊次線性方程組求齊次線性方程組通解（通解裡面的k不全為0），通解即為a的全部特徵向量
二（1）n個特徵值之和=a的主對角元素的和
即 n個特徵值之積=
即（2）求關於a的多項式的特徵值
原則：把所有的a換成，把所有的e換成1。即
例如：三階方陣a的特徵值為 1, 3, 4。 則可以求出e+2a2的特徵值為1+2（把a換成，把e換成1）。 即
（3）n階方陣a與它的轉置at有相同的特徵值。
三對於方陣a與方陣b，如果存在可逆矩陣p使得
則稱a與b相似。
四如果a 與b相似則可以推出：
（1）a 與b有相同的特徵值（a的特徵值是多少那麼b的特徵值也是多少）
（2）矩陣a與矩陣b的主對角元素的和相同。即：
例如：如果與相似，則可以推出1+a+4=3+b+6
（3）a的行列式的值=b的行列式的值，。
五方陣a的秩=特徵值中非0元的個數。例如：三階方陣a的三個特徵值為 0， 1 ，2 則它的秩為2（非零元的個數為2個）
六求可逆矩陣p使乙個方陣a相似於對角矩陣，即求可逆矩陣p，使
解：（1）寫出特徵方程並化簡求得n個特徵值
（2）將特徵值帶入齊次線性方程組求基礎解系
將（）化為行最簡
寫出同解方程組
選定自由未知量
寫通解寫基礎解系
（3）可逆矩陣
對角矩陣
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