線性代數模擬試題(ii)
一填空題
◆1． 設有3個線性無關的特徵向量，則應滿足的關係為
【提示】按題意是可對角化的，求其特徵值，重根的重數應滿足什麼關係？
參照教材p125例11
◆2． 設是3階實對稱矩陣且，則的二次型經正交變換化為標準
形為【提示】設的特徵值為，它必滿足：，由於實
對稱矩陣特徵值全是實數，故的特徵值全是2。
◆3． 設3階方陣的特徵值為，則
【提示】參考教材p122例9
◆4． 設矩陣的各行元素之和都等於2，則必有特徵值為 2 ，對應的特徵向量為
【提示】
◆5． 設非齊次方程組係數矩陣的秩為，且它的三個解向量滿足
，則的通解為
【提示】這是教材p111的第29題
二選擇題
◆1． 設都是階方陣，如果，必有（ｃ）
（ａ）或； （ｂ）；
（ｃ）與有乙個不可逆；（ｄ）與有乙個可逆
【提示】取行列式
◆2． 方陣與相似的充分條件是（ｃ）
(ｃ)與有相同的特徵值且這些特徵值互異； （ｄ）與有相同的特徵值
【提示】注意題中是充分條件，而（ａ）（ｂ）（ｄ）都是必要條件
如果（ｃ）成立，則ａ與ｂ都可對角化到同乙個對角矩陣，
◆3． 設，則與（ｃ）
(ａ) 不合同但相似合同但不相似
(ｃ) 合同且相似既不合同也不相似
【提示】ａ是對稱矩陣，易求得ａ的特徵值為４和０（三重）［參見教材p139第21題］
a可正交對角化（既合同又相似），對角矩陣對角元就是其特徵值。
◆４． 設是非齊次線性方程組的兩個不同的解，是的
基礎解系，則的通解是(ｃ)
（ｃ）；（ｄ）
【提示】與線性無關，仍然是的基礎解系。
是的乙個解。雖然（ｄ）有可能是通解，但選擇題應選肯定的，故
（ｄ）不能選。
◆５． 設，則下面說法不對的是( ｃ )
（ａ）的行組與的行組等價 （ｂ）與等價
（ｃ）的列組與的列組等價 （ｄ）的列組與的列組有相同的線性關係
【提示】由題設
（ａ）是對的，［見教材ｐ85最上一段］
（ｂ）是對的，這是矩陣等價的特徵例［見教材p59定義］
（ｄ）是對的，［見教材p95第４行］這也是我們求最大無關組的依據
三計算題
◆1． 計算行列式
提示 [這是教材p28習題7（6）]從第2列開始每一列減第1列得「爪形」行列式
，然後再化三角形得
◆2． 解矩陣方程，其中
提示 ，可逆，化簡方程為
注意上三角矩陣的逆矩陣一定是上三角
◆3． 設3階對稱矩陣陣的特徵值為，與特徵值對應的
特徵向量為，
（1）求正交矩陣使成為對角矩陣；（2）計算
提示 [這是教材p139習題20]此題是對稱矩陣正交對角化的問題，但對應對的
特徵向量未知，利用對稱矩陣的性質可求之，與正交的非零向量必是對應於
的特徵向量，解方程組得基礎解系（最好直接求得正交的，見
下面做法）
，取（是待定引數）得
，，令這樣就得正交的基礎解系，也就是對應於的特徵向量
只要再它們單位化，拼成矩陣即為所求的正交矩陣
此時，，
注意上面要非零，才能保證兩個向量無關，如果求不出要求再換一種方式。
◆4． 設為三階矩陣，是線性無關的三維列向量，且滿足
（1）求矩陣，使得；
（2）求矩陣的特徵值；
（3）求可逆矩陣，使得為對角矩陣。
提示 ，即
上式右邊就是要求的得
的特徵值就是的特徵值，你來求一下。
◆5． 求一齊次線性方程組，使其基礎解系為
， 提示 [這是教材p110習題24]設所求方程組為，由題設，如果記
，則即，這說明的列都是方程組的解。
把的解（只需要基礎解系）作為列拼成即可。
解方程組，得基礎解系為
， 令，
四證明題
◆1． 設階矩陣
（1）求的全部特徵值；
（2）證明是正定矩陣；
（3）證明
提示 （1），由教材p139習題21知其全部特徵值，這裡再做
一下： 由知有乙個非零特徵值，對
應的特徵向量就是。另外是對稱矩陣且知，從而
可對角化，利用秩相等，就知對角矩陣對角元必為乙個非零元（即）和
個零，這說明是的重特徵值。當然也可直接求到此結論。
（2）首先易知是對稱矩陣，其次特徵值為，得證。
也可這樣，
（3）記，是對稱矩陣，可對角化，要證，只
需證的特徵值全是零（想想這是為什麼？）
易知的特徵值為，下面繼續算一算是否都是
零。了解你來直接驗證結論：設，則可逆的充要條件是
，此時，
◆2． 設階矩陣滿足，證明必可對角化
提示這一題實質上就是教材p110習題26：
下面分析一下二者的關係：由知的特徵值為或1；對應於特徵值的無
關特徵向量的個數為，對應於特徵值的無關特徵向量的個數為
，二者之和
說明有個無關的特徵向量，從而可對角化。
下面再證：
一方面，由得，從而[見教材p101例13]
另一方面，由得，
了解如果也有類似的結論，你來試一試。
◆3． 設是一組維的向量，證明它們線性無關的充要條件是：任一維向
量都可由它們線性表示。[教材p110習題17]
提示如果它們線性無關，則對任一維向量，線性相關（n+1個n維
向量），由p90定理5（3），得可由唯一表示。
反之，設任一維向量都可由它們線性表示，特別取座標向量當然也可
由它們表示，這樣，推得
，說明線性無關（注：這裡秩看成是矩陣的秩或
向量組的秩都可以）
提醒上述每一步的依據你都要想清楚，這會大有好處的。
◆4． 設是實對稱矩陣，如果它既是正交矩陣又是正定矩陣，證明只能是單位矩陣。
提示對稱，則可正交對角化，
由對稱正交，得
又正定，的對角元全正，全是，即
總評如遇關於對稱矩陣的證明題，首先要想到它可正交對角化，一般都是可以證出來的。
說明一般考試時，只有大約兩道證明題，這裡給了四個，只是一種練習而已。
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