《線性代數》常見計算題型及常用思路
一、 計算題
題型1．解線性方程組（必須掌握）
（1） 最常用方法：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為），然後對自由未知量賦予任意值，即設，這兒為任意常數。把賦予自由未知量的值帶入方程組，解除方程組的解（是關於的一些表示式）
（2） 方法（1）的變形：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為）。設是的一組基（常取自然基）。
然後令，分別解得方程組的解：（這是乙個基礎解系）。則可知方程組的解為，這兒為任意常數。
（一般解）
（3） cramer法則。注意：cramer法則只對係數矩陣可逆的情形適用。
題型2．將用線性表示（或求座標）
常用思路：待定係數法。設使得。然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。解方程組。
方法二：利用課本定理4.10（如果已知在某一組基下的矩陣）
題型3．判斷的線性相關性
常用思路：待定係數法。設使得。然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。解方程組。如果方程組只有零解，則線性相關。反之，線性無關。
題型4．求的極大無關組及秩
常用思路：待定係數法。設使得。
然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。用高斯消元法化簡方程組，得到自用未知量。不是自用未知量的所對應的放到一起，就構成了原向量組的乙個極大無關組。
題型4′．求基與維數
常用方法：找到一組有限生成元，轉化為題型4。
題型5. 將擴充為一組基
常用思路：首先確定出的乙個極大無關組，設為。然後設，構建線性方程組
（假設是列向量）
然後解除上面方程組的乙個基礎解系，設為（想想為什麼一定有個）。則就是一組基（想想為什麼線性無關）
題型6．schmidt正交化過程
題型7. 兩組基的過渡矩陣**化為題型2）
題型8. 線性對映（變換）的矩陣
方法一：利用定義，轉化為題型2。
方法二：利用課本定理7.4（如果已知在一組基下的矩陣及過渡矩陣）
題型9. 求矩陣的秩（可考慮放棄）
方法一：基於初等變換不改變矩陣得知，利用初等變換把原矩陣化為乙個容易看出秩的矩陣（一般為階梯形）。
方法二：利用分塊矩陣。主要基於以下幾個公式：
方法三：利用秩的一些性質，主要是：
方法四：利用的行/列秩，轉化為題型4或利用向量組的秩的一些性質
方法五：利用的行列式秩
方法六：利用線性方程組解的結構，主要基於：
題型10. 求可逆矩陣的逆矩陣
方法一：基於可逆的唯一解為，利用線
性方程組求解。
方法二：基於可逆矩陣可寫成初等矩陣的乘積，利用初等變換求
解，主要是兩個公式：
前者只能用行變換，後者只能用列變換。
方法三：利用分塊矩陣求解。主要基於兩個公式：（假設已知可逆）
注意：主對角線上的子塊必為可逆方陣。
方法四：利用伴隨矩陣（一定要細心！）
題型11. 求行列式（小心符號！）
方法一：利用初等變換或課本5.1節的簡單性質化為三角陣或其他容易求解的行列式。
方法二：利用公式（注意必為同型方陣）
方法三：利用按行/列展開公式，一般得到遞推公式。
方法四：前面三者結合。（最為常用）
幾個必須知道的結論：
（1）三角形行列式=對角線元素乘積
（2）（3）範德蒙行列式
題型12. 求特徵值與特徵向量及矩陣對角化（必須掌握）
方法：利用特徵多項式求特徵值，利用求線性方程組的基礎解系
求特徵向量。最後注意：在寫出以及原矩陣的相似標準形時，
要注意特徵向量與特徵值是相互對應的。
題型13. 實對稱矩陣的對角化
方法：和題型12一致，但是要加入schmidt正交化過程及單位化。
要注意的是：千萬不要把所有的特徵向量放在一起schmidt正交
化，一定要分別對每個特徵值所對應的特徵向量分別正交化，也
就是說：如果有m個不同特徵值，要進行m次schmidt正交化過
程！題型14. 求二次型/矩陣相合標準形與相合規範形（必須掌握）
方法一：配方法。
方法二：初等變化法。（參考課本例題，此兩種方法和中學所用的
一致）方法三：利用題型12或13，基於正交矩陣的逆矩陣和轉置一樣。
《線性代數》常見證明題型及常用思路
二、證明題
題型1．關於線性相關性的證明中常用的結論
（1）設，然後根據題設條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無關；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。
（2）線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。
（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。
（4）如果我們有兩個線性無關組， 且是同乙個線性空間的兩個子空間，要證線性無關。這種情況下，有些時候我們設
。根據題設條件往往能得到，進而由的線性無關得到係數全為零。
題型2. 關於歐氏空間常用結論
（1）內積的定義
（2）單位正交基的定義
（3）設是單位正交基，
。則5題型3. 關於矩陣的秩的證明中常用的結論
（1）初等變換不改變矩陣的秩
（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩
（3）階梯形的秩
（4）幾個公式（最好知道如何證明）：常用來證明關於秩的不等式
（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關於秩的不等式）
例：證明：。
證：上面第二個等號是用左乘第乙個分塊矩陣的第一行，然後加到第二行所得；第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列，然後加到第二列所得。
（6）利用齊次線性方程組解的結構（），此方法也可以用來證明關於向量組的秩方面的的問題。
（7）利用向量組的秩與維數
主要是兩個結論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩
（ii）的定義域
的維數（8）利用行列式秩
（9）利用相抵標準形
題型4. 關於可逆矩陣常用結論
（1）結論：可逆有唯一解。
（2）結論：可逆可逆。
（3）結論：可逆當且僅當可以寫為初等矩陣的乘積。
（4）結論：可逆當且僅當0不是它的特徵值。
[, , ]
（1）結論：相似於。
（2）結論：任乙個複數域上的方陣都相似於乙個若當形矩陣。
（3）特徵值與特徵向量的定義
（4）結論：是的特徵值。
（5）結論：屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。
（6）結論：特徵多項式的常數項就是它的行列式，它的第n-1次項的係數就是對角線上元素之和。
（7）結論：。
（8）結論：課本p242定理7.8。
（9）結論：課本p242推論。
（10）結論：課本p243定理7.10。
（11）結論：實對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。
[, , ]
（1）定義：二次型的矩陣。
（2）定義：相合關係。
（3）實對稱矩陣的相似標準形、相合標準形與相合規範形的區別。
（4）定義：課本p263定義7.12與p269定義7.12
（5）實對稱矩陣的正、負慣性指數與特徵值的關係。
（6）結論：課本p264定理7.17、7.18、7.19
（7）結論：課本p269定義下面的內容
重要建議：最好把課本第七章內容全部記住！
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