§2.1 《數怎麼又不夠用了》教案第二稿
一、 教材的地位和作用：
《數怎麼又不夠用了》是義務教育課程標準北師大版實驗教材八年級（上）第二章《實數》的第一節.在本節課之前，學生已經完成了有理數域的擴充、學習了勾股定理等知識，本節內容主要通過具體情境讓學生感受數域的發展，建立無理數的概念，將認識的數域擴充到實數範圍內，借助計算器感受無理數是無限不迴圈小數，會判斷乙個數是無理數.學生將在具體的背景中，通過操作、估算、分析等活動，感受無理數的產生的實際背景和引入的必要性，並能判斷乙個數是無理數，能說出理由.
本節課是學生對於數域的又一次非常重要的擴充，對於學生認識數學發展史及培養學生學習數學的興趣起著非常重要的作用。
二、學情分析：
八年級的學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、估算能力有限，對於數形結合思想的理解也比較淺顯，但是學生思維比較活躍，樂於動手，樂於**，樂於思考，因此，教學中應重點通過具體的情景，讓學生主動感受從有理數域向實數域擴充的必要性，借助計算器應用無限逼近法來體驗無理數是無限不迴圈的小數這一本質屬性。
說明：以上內容屬於說課內容，不必在教案中展示，因此刪掉。
一、教學目標：素質教育要求數學教學應以學生的發展為本，以學生的能力培養為重，《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》中對學生的培養目標在具體表述上做了修改，提出了「四基」：基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；提出了「四能」：
發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。根據以上指導思想，確定本節課的教學目標如下：
說明：以上內容屬於說課內容，不必在教案中展示，因此刪掉。
知識與技能
1.了解義務教育階段三次數域擴充的背景，理解數域擴充的必要性.
2.借助計算器，掌握用逼近法探索無理數近似值.
3.掌握判斷乙個數是否為無理數的方法.
過程與方法
1．通過設定「預習導案」，讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數存在的必要性和合理性，培養學生的動手能力、發現問題和提出問題的能力.
2．通過設定「問題串」，引導學生正確地進行推理和判斷某些數是否為無理數，培養學生分析問題和解決問題的能力。
3．借助計算器進行估算，培養學生的估算能力，發展學生的抽象概括能力，從中體會無限逼近的思想.
情感與態度
1．在「自主、合作、**、質疑」學習活動中，培養學生自主學習、合作交流、**質疑能力，提高學生學習興趣和持續參與**活動的熱情.
2.了解無理數發現史，發展學生的質疑和創新精神.
（說明：第一稿中對於以上三維的表述不夠準確和完整）
二、教學重難點
（一）教學重點
1．理解無理數的存在性，會判斷乙個數是否為無理數.
2.用計算器估算乙個數是無理數.
（二）教學難點
1．理解在形如a2=2中的a既非整數又非分數；
2．利用無限逼近法估算無理數.
（說明：前一稿表述不準確）
三、教法及學法分析
（一）教學方法：
由於初二學生的形象思維大於抽象思維，注意力不能持久等年齡，根據本節課實際，採用質疑式教學方法。同時考慮到學生的認知方式、思維水平和學習能力的差異進行分層次教學，讓不同層次的學生都能主動參與並都能得到充分的發展。（說明：
以上內容屬於說課內容，不必在教案中展示，因此刪掉。）採用質疑式教學方法。本節課的教學共有以下六個環節：
（二）學法指導：
通過導案引導學生進行自主預習、課上合作學習，通過對學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力的培養，提高學生學習的主動性和積極性。
（三） 教具準備：多**課件，兩個邊長為1的正方形，剪刀，雙面膠，計算器（說明：上一稿漏掉了計算器）
四、教學設計
（一）設計導案、引發思考（課前）：導案的設計緊緊圍繞教學目標，設計利於激發學生思考、主動**、主動質疑的問題，問題的設計突出以下三個特點：
1.用問題串的形式展示知識的形成過程；
2.用開放性的問題開啟學生思維的空間；
3.用挑戰性的問題激發學生深層次的思考.
(導案見附件1)（說明：為讓整個教學設計連貫性、整體性，將導案放後面附錄中）
（二）自主預習、發現問題（課前）：學生不僅要完成教材和導案上設計的問題，更重要的是在自主預習中通過思考分析問題、提出問題並嘗試解決問題。
設計意圖：
1、通過對學生發現問題提出問題的能力的培養，增強學生自主預習的效果，學生能提出問題，就說明他們在預習中對所研究的問題有了比較深刻的理解；
2、學生只有提出了問題，帶著問題進入課堂，才能在課堂的合作交流中有話可說，討論的問題才具有真實性和時效性。
課堂引入：教師指出本節課的課題《數怎麼又不夠用了？》，提出問題：
為什麼這裡說數又不夠用了？引導學生回顧以前的數域的兩次拓展：第一次：
由自然數拓展到分數；第二次：由非負數拓展到有理數，所以這裡說又「不」夠用了。教師板書有理數的分類。
引導學生講述無理數的發現的故事：早在西元前，古希臘數學家畢達哥拉斯認為萬物皆「數」，即「宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比」，也就是一切現象都可用有理數去描述.後來，這個學派中的乙個叫希伯索斯的成員發現邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數或整數之比來表示，這個發現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據說，為此希伯斯被投進了大海，他為真理而獻出了寶貴的生命，但真理是不可戰勝的，後來，古希臘人終於正視了希伯索斯的發現.
設計意圖：進一步豐富無理數的背景，通過史料，培養學生為捍衛真理而勇於獻身的精神，鼓勵學生敢於對問題質疑、挑戰.
學生口述本節課的教學內容：1、無理數的產生；2、用逼近法估算無理數。
教師出示討論主題：
1、在哪些數學情境中你發現存在有理數不夠用的情況？
2、怎樣估算乙個無理數的大小？
3、你還能舉出幾個無理數嗎？
（說明：課堂引入使學生學習的出發點和興趣激發點所在，上一稿忽略了此問題，再次應該詳細說明）
（三）合作交流、釋疑存疑：學生帶著問題進入課堂,必然有與本小組的同學分享自己的預習成果和請別人一起討論自己所發現的問題的急迫心情，在交流中學生通過相互啟發不僅能解決一些預習中的問題，更重要的是在思維碰撞中能夠產生一些新的問題。在這個過程中學生交流的自覺性和有效性得到了保證。
對於本節課，學生可能產生的問題有以下幾點，教師應根據知識的形成過程和學生的實際情況採取恰當的方式逐步解決：
1、除了有理數和無理數外還有沒有其他的數？
2、怎樣估算無理數的大小？
3、無理數有哪些？
4、怎樣判斷乙個數是有理數還是無理數？
5、無理數可否在數軸上表示？
（說明：根據備課組成員對於教材的挖掘和理解，將以上問題的預設作為本節課的核心與主要問題；）
（四）質疑提公升、展示自我：學生展示自己小組交流的成果，解決同學們提出的問題。
1、再現情景，匯入新知
學生展示：兩個邊長為1的小正方形如何通過剪、拼的方法得到乙個大正方形.（說明：對於問題的解決方式教師應做到心中有數，並在解決後引導學生進行總結提公升）
在學生展示的基礎上，教師利用多**展示其中幾種種剪拼過程，學生回答以下幾個問題：
（1）設大正方形的邊長為，應滿足什麼條件？
（2）滿足： 2=2的數是乙個什麼樣的數？可能是整數嗎？說明你的理由？
（3）可能是分數嗎？說說你的理由？
引導學生總結方法：剪完後只有相等的邊才能拼在一起。
設計意圖：通過學生展示讓學生再次感受數不夠用了，感受無理數的產生的現實背景和必然性，培養學生嚴密的邏輯性推理能力.
2、變換情景，體會新知
(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？
(2)設該正方形的邊長為b，則b應滿足什麼條件？
(3)b是有理數嗎？
（4）由該問題你發現什麼結論？
設計意圖：與前面所學的勾股定理結合，再次體會無理數產生的必要性和廣泛性。
3、小試牛刀，鞏固新知
課本p25隨堂練習：如圖，正三角形abc的邊長為2，高為h，h可能是整數嗎？可能是分數嗎？
（說明：本部分內容不利於學生對於形如a2=2中的a的無限不迴圈性質的理解，可以放在解決學生提出的問題中進行解決，因此刪掉）
2、 動手**，再識新知
既然這個a既不是整數也不是分數，那麼同時乙個怎樣的數呢？引導學生利用逼近法估算無理數的大小。
學生展示：你是如何借助計算器求出面積為2的正方形的邊長a的取值範圍的？
學生主要通過逐個計算資料如1.1、1.2、1.3、1.4等的平方，通過對比體會a介於1.4和1.5之間，在通過類似的方法逐步逼近a的值。
教師通過螢幕投影用數軸逼近無理數的值，重點展示十分位的估算過程，並將過程板書在黑板上。
設計意圖：借助計算器應用無限逼近的方法來初步估算a的取值範圍，初步體驗無限逼近思想，通過用數軸表示理解數形結合思想，為後續以無限部迴圈小數定義無理數打下基礎.
（說明：形如a2=2中的a的估算作為本節課的重點和難點，應引導學生理解其中的數學思想和具體估算步驟，因此此處設計了板書和應用數軸進行數形結合，力圖讓學生直觀的理解無限逼近法。）
3、 強化練習，鞏固方法：
學生應用無限逼近法估算a2=5中a的大小，在有限的時間內比比內個小組估算的位數多。
（說明：增加此環節的目的是藉此練習鞏固學生對於無限逼近法的理解，教師據此評價學生的學習效果。）
4、 給出概念，形成系統
無限不迴圈小數叫無理數.(圓周率π=3.14159265…也是乙個無限不迴圈小數,故π是無理數).
學生梳理實數的系統框架圖：
5、 開動腦筋，獨立思考
請同學們舉出幾個無理數的例子，與本組同學交流，比一比，看誰舉出的多。
在此基礎上引導學生總結初中階段常見的無理數有以下三類：
（1）部分含π的代數式：如：π ，2π +1等；
（2）開方開不盡的數：如等；
（3）形如：0.1010010001 …（每兩個1之間的0的個數逐次增加1個）
(說明: 通過學生自己舉例，體會無理數的概念，引導學生總結思考無理數的具體形式，加深理解。)
並通過練習加以鞏固：
在①0.351，②－，③，④4.969696…，⑤6.
7575575557…（相鄰兩個7之間的5的個數逐次加1）， ⑥ 0，⑦－5.232332，⑧－π，⑨在等式a2=5中的a，無理數有(填寫序號
此基礎上，引導學生總結無理數和有理數的區分方法：根據是否是整數和分數確定哪些是有理數，或者根據常見無理數的形式確定無理數。
（說明：對知識的學習進行鞏固練習，既要有對於知識的發散，又要有總結性提公升。）
數怎麼又不夠用了
2.1數怎麼又不夠用了 二 導學案 2.1數怎麼又不夠用了 二 導學案 一 學情分析 通過第一課時的學習，讓學生先感受到了生活中確實存在著不是有理數的數，我們所學的數又不夠用了，從而激發學生學習的好奇心 積極主動地參與到學習中，充分感受到無理數引入的必要，發展學生的合情推理能力.二 教材分析 第1課...
2 1數怎麼又不夠用了 二
教學目標 一 知識目標 1.借助計算器探索無理數是無限不迴圈小數，並從中體會無限逼近的思想.2.會判斷乙個數是有理數還是無理數.二 能力訓練目標 1.借助計算器進行估算，培養學生的估算能力，發展學生的抽象概括能力，並在活動中進一步發展學生獨立思考 合作交流的意識和能力.2.探索無理數的定義，以及無理...
2 1數怎麼又不夠用了 二
教學時間 第二課時 課題 2.1.2 數怎麼又不夠用了 二 教學目標 一 教學知識點 1.借助計算器探索無理數是無限不迴圈小數，並從中體會無限逼近的思想.2.會判斷乙個數是有理數還是無理數.二 能力訓練要求 1.借助計算器進行某些方根的規律，發展學生的抽象概括能力，並在活動中進一步發展學生獨立思考 ...