第二章分解因式
一. 分解因式
1. 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.
2. 因式分解與整式乘法是互逆關係。因式分解與整式乘法的區別和聯絡:
(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為乙個多項式;
(2)因式分解是把乙個多項式化為幾個因式相乘.
二. 提公共因式法
1. 如果乙個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.
如: 2. 概念內涵:(1)因式分解的最後結果應當是「積」;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律,即:
3. 易錯點點評:(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;(2)公因式是否提「乾淨」;
(3)多項式中某一項恰為公因式,提出後,括號中這一項為+1,不漏掉.
三. 運用公式法
1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
補充：尤拉公式：
特別地：（1）當時，有
（2）當時，尤拉公式變為兩數立方和公式。
3. 因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.
4. 運用公式法:
(1)平方差公式: ①應是二項式或視作二項式的多項式;②二項式的每項(不含符號)都是乙個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.
(2)完全平方公式:①應是三項式;②其中兩項同號,且各為一整式的平方;
③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.
5. 因式分解的思路與解題步驟:
(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組後提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;
(4)因式分解的最後結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;
(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數範圍內不能再分解為止.
四. 分組分解法:
1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.
如:2. 概念內涵:分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組後是否有公因式可提,並且可繼續分解,分組後是否可利用公式法繼續分解因式.
3. 注意: 分組時要注意符號的變化.
五. 十字相乘法:
1.對於二次三項式,將a和c分別分解成兩個因數的乘積, , , 且滿足,往往寫成的形式,將二次三項式進行分解.
如: 2. 二次三項式的分解:
3. 規律內涵:(1)理解:把分解因式時,如果常數項q是正數,那麼把它分解成兩個同號因數,它們的符號與一次項係數p的符號相同.
(2)如果常數項q是負數,那麼把它分解成兩個異號因數,其中絕對值較大的因數與一次項係數p的符號相同,對於分解的兩個因數,還要看它們的和是不是等於一次項係數p.
4. 易錯點點評:(1)十字相乘法在對係數分解時易出錯;(2)分解的結果與原式不等,這時通常採用多項式乘法還原後檢驗分解的是否正確.
提公因式法
1. 把下列各式因式分解
（1）（2） 2. 利用提公因式法簡化計算過程
例：計算
3. 在多項式恒等變形中的應用
例：不解方程組，求代數式的值。
4. 在代數證明題中的應用
例：證明：對於任意自然數n，一定是10的倍數。
5、中考點撥：
例1。因式分解
例2．分解因式：
題型展示：
例1. 計算：
例2. 已知：（b、c為整數）是及的公因式，求b、c的值。
例3. 設x為整數，試判斷是質數還是合數，請說明理由。
【實戰模擬】
1. 分解因式：
（1）（2）（n為正整數）
（3）2. 計算：的結果是（ ）
abcd.
3. 已知x、y都是正整數，且，求x、y。
4. 證明：能被45整除。
5. 化簡：，且當時，求原式的值。
公式法【分類解析】
1. 把分解因式的結果是（ ）
a. b.
cd.2. 在簡便計算、求代數式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應用
例：已知多項式有乙個因式是，求的值。
3. 在幾何題中的應用。
例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。
4. 在代數證明題中應用
例：兩個連續奇數的平方差一定是8的倍數。
5、中考點撥：
例1：因式分解
例2：分解因式
題型展示：
例1. 已知：，
求的值。
例2. 已知，
求證：例3. 若，求的值。
【實戰模擬】
1. 分解因式：
（12）
（3）2. 已知：，求的值。
3. 若是三角形的三條邊，求證：
4. 已知：，求的值。
5. 已知是不全相等的實數，且，試求
（1）的值；（2）的值。
分組分解法
【分類解析】
1. 在數學計算、化簡、證明題中的應用
例1. 把多項式分解因式，所得的結果為（ ）
例2. 分解因式
2. 在幾何學中的應用
例：已知三條線段長分別為a、b、c，且滿足
證明：以a、b、c為三邊能構成三角形
3. 在方程中的應用
例：求方程的整數解
4、中考點撥
例1.分解因式
例2．分解因式
例3. 分解因式
5、題型展示：
例1. 分解因式：
例2. 已知：，求ab+cd的值。
例3. 分解因式：
【實戰模擬】
1. 填空題：
2. 已知：
3. 分解因式：
4. 已知：，試求a的表示式。
5. 證明：
十字相乘法
【分類解析】
1. 在方程、不等式中的應用
例1. 已知：，求x的取值範圍。
例2. 如果能分解成兩個整數係數的二次因式的積，試求m的值，並把這個多項式分解因式。
2. 在幾何學中的應用
例. 已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足
，求長方形的面積。
3、在代數證明題中的應用
例. 證明：若是7的倍數，其中x，y都是整數，則是49的倍數。
4、中考點撥
例1.把分解因式的結果是
例2.因式分解
5、題型展示
例1. 若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（ ）
a. 1 b. -1 c. d. 2
例2. 已知：a、b、c為互不相等的數，且滿足。
求證：例3. 若有一因式。求a，並將原式因式分解。
【實戰模擬】
1. 分解因式：
（12）
（3）2. 在多項式，哪些是多項式的因式？
3. 已知多項式有乙個因式，求k的值，並把原式分解因式。
4. 分解因式：
5. 已知：，求的值。
知識點總結因式分解
因式分解 概念 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，如下 1 提公因式法 如果乙個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例題 1 2x2y xy2 6a2b3 9ab2 3 x a b y...
因式分解知識點
注意 把2a 2 1 2變成2 a 2 1 4 不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 注意 能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數...
因式分解知識點歸納總結
因式分解知識點歸納總結濟寧分鐘李濤 一.因式分解定義 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.理解 因式分解與整式乘法是互逆關係.因式分解與整式乘法的區別和聯絡 1 整式乘法是把幾個整式相乘,化為乙個多項式 2 因式分解是把乙個多項式化為幾個因式相乘.二.因式分解方法 ...