整式乘除與因式分解
概述 定義：把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。
意義：它是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。
學習它，既可以複習的整式四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。
分解因式與整式乘法互為逆變形。
因式分解的方法
因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。
注意三原則
1 分解要徹底
2 最後結果只有小括號
3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）
基本方法
⑴提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果乙個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．
公式：a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
（3）分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；
③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。
3.提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式並確定另乙個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另乙個因式，注意要確定另乙個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的乙個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另乙個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
一、知識點總結：
1、單項式的概念：由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的乙個數或乙個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的係數，字母指數和叫單項式的次數。
如：的係數為，次數為4，單獨的乙個非零數的次數是0。
2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數最高項的次數叫多項式的次數。
如：，項有、、、1，二次項為、，一次項為，常數項為1，各項次數分別為2，2，1，0，係數分別為1，-2，1，1，叫二次四項式。
3、整式：單項式和多項式統稱整式。
注意：凡分母含有字母代數式都不是整式。也不是單項式和多項式。
4、多項式按字母的公升（降）冪排列：
如： 按的公升冪排列：
按的降冪排列：
按的公升冪排列：
按的降冪排列：
5、同底數冪的乘法法則：（都是正整數）
同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。
如： 6、冪的乘方法則：（都是正整數）
冪的乘方，底數不變，指數相乘。如：
冪的乘方法則可以逆用：即
如： 7、積的乘方法則： （是正整數）
積的乘方，等於各因數乘方的積。
如：（=
8、同底數冪的除法法則：（都是正整數，且
同底數冪相除，底數不變，指數相減。如：
9、零指數和負指數；
，即任何不等於零的數的零次方等於1。
（是正整數），即乙個不等於零的數的次方等於這個數的次方的倒數。
如： 10、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的係數，相同字母分別相乘，對於只在乙個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的乙個因式。
注意：①積的係數等於各因式係數的積，先確定符號，再計算絕對值。
②相同字母相乘，運用同底數冪的乘法法則。
③只在乙個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的乙個因式
④單項式乘法法則對於三個以上的單項式相乘同樣適用。
⑤單項式乘以單項式，結果仍是乙個單項式。
如： 11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，
即(都是單項式)
注意：①積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同。
②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。
③在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合併同類項。]
如： 12、多項式與多項式相乘的法則；
多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所的的積相加。
如： 13、平方差公式：注意平方差公式展開只有兩項
公式特徵：左邊是兩個二項式相乘，並且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。
如：14、完全平方公式：
公式特徵：左邊是乙個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍。
注意：完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。
15、三項式的完全平方公式：
16、單項式的除法法則：
單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式。
注意：首先確定結果的係數（即係數相除），然後同底數冪相除，如果只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式
如： 17、多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。
即： 18、因式分解：
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知識點分析：
1.同底數冪、冪的運算：
am·an=am+n(m，n都是正整數).
(am)n=amn(m，n都是正整數).
例題1.若，則a若，則n
例題2.若，求的值。
例題3.計算
練習1.若，則
2.設4x=8y-1,且9y=27x-1,則x-y等於
2.積的乘方
(ab)n=anbn(n為正整數).積的乘方，等於把積的每乙個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
例題1. 計算：
3.乘法公式
平方差公式：
完全平方和公式：
完全平方差公式：
例題1. 利用平方差公式計算：2009×2007－20082
例題2.利用平方差公式計算：．
3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
5. 因式分解：
1.提公因式法：式子中有公因式時，先提公因式。
例1把分解因式．
分析：把多項式的四項按前兩項與後兩項分成兩組，並使兩組的項按的降冪排列，然後從兩組分別提出公因式與，這時另乙個因式正好都是，這樣可以繼續提取公因式．
解： 說明：用分組分解法，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將
一、四項為一組，
二、三項為一組，同學不妨一試．
例2把分解因式．
分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號開啟後重新分組，然後再分解因式．
解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組後，為了提公因式，又運用了分配律．由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用．
2. 公式法：根據平方差和完全平方公式
例題1 分解因式
3.配方法：
例1分解因式
解：說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方後將二次三項式化為兩個平方式，然後用平方差公式分解．當然，本題還有其它方法，請大家試驗．
4.十字相乘法：
（1）．型的因式分解
這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：
(1) 二次項係數是1；(2) 常數項是兩個數之積；(3) 一次項係數是常數項的兩個因數之和．
因此，運用這個公式，可以把某些二次項係數為1的二次三項式分解因式．
例1把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
．(2)說明：此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項係數的符號相同．
例2把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
(2)說明：此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號的因數，其中絕對值較大的因數與一次項係數的符號相同．
例3把下列各式因式分解：
(12)
分析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項係數是，把分解成與的積，而，正好是一次項係數．
2) 由換元思想，只要把整體看作乙個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．
初二數學因式分解知識點總結
即 都是單項式 注意 積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合併同類項。如 12 多項式與多項式相乘的法則 多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所的的積相加。如 ...
初二數學因式分解知識點總結
整式乘除與因式分解 一 知識點總結 1 單項式的概念 由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的乙個數或乙個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的係數，字母指數和叫單項式的次數。如 的係數為，次數為4，單獨的乙個非零數的次數是0。2 多項式 幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多...
經典初二數學因式分解
1 有乙個因式是，另乙個因式是 a b c d 2 把a4 2a2b2 b4分解因式，結果是 a a2 a2 2b2 b4 b a2 b2 2 c a b 4 d a b 2 a b 2 3 若a2 3ab 4b2 0,則的值為 a 1 b 1 c 4或 1 d 4或1 4 已知為任意整數，且的值總...