初二數學——分解因式
一、 考點、熱點分析
整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。
(一)常見形式：（1）平方差公式：[b^=(a+b)(ab)', 'altimg': '', 'w': '190', 'h': '26'}]
（2）完全平方公式：[±2ab+b^=(a±b)^', 'altimg': '', 'w': '189', 'h': '27'}]
（3）立方差公式：[b^=(ab)(a^+ab+b^)', 'altimg': '', 'w': '245', 'h': '26'}]
（4）立方和公式：[+b^=(a+b)(a^ab+b^)', 'altimg': '', 'w': '245', 'h': '26'}]
5）十字相乘法（十字相乘法是適用於二次三項式的因式分解的方法．）
二次三項式：
把多項式[+bx+c', 'altimg': '', 'w': '96', 'h':
'21'}]，稱為字母x的二次三項式，其中[', 'altimg': '', 'w': '32', 'h':
'21'}]稱為二次項，bx、
為一次項，c為常數項．例如，[2x3', 'altimg': '', 'w': '85', 'h':
'21'}]和[+5x+6', 'altimg': '', 'w': '86', 'h':
'21'}]都是關於x的二次三項式.
在多項式[6xy+8y^', 'altimg': '', 'w': '118', 'h': '21'}]中，如果把y看作常數，就是關於x的二次三項式；
如果把x看作常數，就是關於y的二次三項式．
在多項式[b^7ab+3', 'altimg': '', 'w': '131', 'h':
'25'}]中，把ab看作乙個整體，即[7(ab)+3', 'altimg': '', 'w': '163', 'h':
'27'}]，就是
關於ab的二次三項式．同樣，多項式[+7(x+y)+12', 'altimg': '', 'w': '191', 'h':
'27'}]，把x＋y看作乙個整體，就是關於x＋y的二次三項式．
十字相乘法的依據和具體內容
它的一般規律是：（1）對於二次項係數為1的二次三項式[+px+q', 'altimg': '', 'w': '87', 'h': '21'}]，如果能把
常數項q分解成兩個因數a，b的積，並且a＋b為一次項係數p，那麼它就可以
運用公式
[+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)', 'altimg': '', 'w': '276', 'h': '22'}]
分解因式．這種方法的特徵是「拆常數項，湊一次項」．
注意：公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項係數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項係數的符號相同．
（2）對於二次項係數不是1的二次三項式[+bx+c', 'altimg': '', 'w': '96', 'h':
'21'}](a，b，c都是整數且a≠0)來說，如果存在四個整數[,a_,c_,c_', 'altimg': '', 'w': '97', 'h':
'23'}]，使[a_=a', 'altimg': '', 'w': '73', 'h':
'23'}]，[c_=c', 'altimg': '', 'w': '70', 'h':
'23'}]，且[c_+a_c_=b', 'altimg': '', 'w': '119', 'h':
'23'}]，
那麼運用
[+bx+c', 'altimg': '', 'w': '96', 'h':
'21'}][a_x^+(a_c_+a_c_)x+c_c_=(a_x+c_)(a_x+c_)', 'altimg': '', 'w': '441', 'h':
'24'}]
它的特徵是「拆兩頭，湊中間」.如：[+6xy8y^=(x+2)(5x4)', 'altimg': '', 'w': '272', 'h': '22'}]
（6）分組分解法：
在多項式am+ an+ bm+ bn中，這四項沒有公因式，所以不能用提取公因式法，
再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．
如果我們把它分成兩組(am+ an)和(bm+ bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法
分別分解因式．即：
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)
這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)(a +b)．
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法．
（二）因式分解一般要遵循的步驟:(1)先考慮能否提公因式;
(2)再考慮能否運用公式或十字相乘法;
(3)最後考慮分組分解法．對於乙個還能繼續分解的
多項式因式仍然用這一步驟反覆進行．
口訣：「首先提取公因式，然後考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要
合適，四種方法反覆試，結果應是乘積式」．
二、典型例題
分解因式：
1．m(p－q)－p＋q2．a(ab＋bc＋ac)－abc；
3．x4－2y4－2x3y＋xy34．abc(a＋b＋c)－a3bc＋2abc；
5．(x－2x)＋2x(x－2)＋1；
6．(x－y)＋12(y－x)z＋36z7．x－4ax＋8ab－4b；
8．(ax＋by)＋(ay－bx)＋2(ax＋by)(ay－bx)；
9．(1－a)(1－b)－(a－1)(b－1)；
10．(x＋1)－9(x－1
11．x3n＋y3n；
12．(x＋y)3＋125
13．8(x＋y)3＋1；
（1）[2x15', 'altimg': '', 'w': '97', 'h':
'212）[5xy+6y^', 'altimg': '', 'w': '118', 'h':
'21'}]
（3）[5x3', 'altimg': '', 'w': '97', 'h':
'214）[+8x3', 'altimg': '', 'w': '98', 'h':
'21'}]
四、課後練習
一、選擇題
1.下列分解因式正確的是（ ）
2.若實數a、b滿足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，則ab的值是（ ）
3.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，結果正確的是（ ）
4．把a2﹣2a﹣1分解因式，正確的是（ ）
5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列數整除的是（ ）
6．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的乙個因式，則m的值為（ ）
7．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數，則下列敘述正確的是（ ）
8．已知多項式2x2+bx+c分解因式為2（x﹣3）（x+1），則b，c的值為（ ）
9．如果x2+3x﹣3=0，則代數式x3+3x2﹣3x+3的值為（ ）
二．填空題
10．在實數範圍內因式分解：x3﹣2x2y+xy2
11．分解因式：2x2+2x
12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x
13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4
14．將多項式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得
三．解答題
15．已知x=y+4，求代數式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．
16．計算：
（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；
（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．
（3）已知﹣2x3m+1y2n與7xn﹣6y﹣3﹣m的積與x4y是同類項，求m2+n的值．
（4）先化簡，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．
17.證明：四個連續自然數的積再加上1，一定是乙個完全平方數.
初二數學因式分解知識點總結
即 都是單項式 注意 積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合併同類項。如 12 多項式與多項式相乘的法則 多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所的的積相加。如 ...
初二數學因式分解知識點總結
整式乘除與因式分解 一 知識點總結 1 單項式的概念 由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的乙個數或乙個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的係數，字母指數和叫單項式的次數。如 的係數為，次數為4，單獨的乙個非零數的次數是0。2 多項式 幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多...
初二數學因式分解知識點經典總結
整式乘除與因式分解 概述 定義 把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。意義 它是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需...