注意:把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法。
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2;
注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b) 3.
公式:a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如:a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
(3)分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2.分解因式技巧掌握:
①等式左邊必須是多項式;
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;
③每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注:分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮。
3.提公因式法基本步驟:
(1)找出公因式;
(2)提公因式並確定另乙個因式:
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母;
②第二步提公因式並確定另乙個因式,注意要確定另乙個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式後剩下的乙個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另乙個因式;
③提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同。
競賽用到的方法
⑶分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識。
能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
比如:ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。
同樣,這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成乙個整體,利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x3-x2+x-1
解法:=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決。
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決。
⑷十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d).
圖示如下:
× c d
例如:因為
1 -3
×7 2-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口訣:首尾分解,交叉相乘,求和湊中
⑸拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
⑹配方法
對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成乙個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5).
⑺應用因式定理
對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x²+5x+6的乙個因式。(事實上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、對於係數全部是整數的多項式,若x=q/p(p,q為互質整數時)該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數;
2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數,c為常數項,則有a為c/b約數
⑻換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另乙個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法。
注意:換元後勿忘還元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時,可以令y=x²+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1).
也可以參看右圖。
⑼求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
⑽圖象法
令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖象,找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).
與方法⑼相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。
例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.
作出其影象,與x軸交點為-3,-1,2
則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
⑾主元法
先選定乙個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
⑿特殊值法
將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每乙個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時,令x=2,則
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,
將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7 .
注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值,
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5),驗證後的確如此。
⒀待定係數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母係數,求出字母係數,從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時,由分析可知:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
也可以參看右圖。
⒁雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類,類似於十字相乘法。
雙十字相乘法就是二元二次六項式,啟始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y為未知數,其餘都是常數
用一道例題來說明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:這是乙個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解:圖如下,把所有的數字交叉相連即可
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
雙十字相乘法其步驟為:
①先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
②先依乙個字母(如y)的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③再按另乙個字母(如x)的一次係數進行檢驗,如十字相乘圖③,這一步不能省,否則容易出錯。
知識點總結因式分解
因式分解 概念 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣,如下 1 提公因式法 如果乙個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例題 1 2x2y xy2 6a2b3 9ab2 3 x a b y...
因式分解知識點小結
完全平方 2 常見的兩個二項式冪的變號規律 為正整數 十字相乘 分組分解 知識要點 1.十字相乘法 1 二次項係數為1的二次三項式中,如果能把常數項分解成兩個因式的積,並且等於一次項係數的值,那麼它就可以把二次三項式分解成 2 二次項係數不為1的二次三項式中,如果能把二次項係數分解成兩個因數的積,把...
因式分解知識點歸納總結
因式分解知識點歸納總結濟寧分鐘李濤 一.因式分解定義 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.理解 因式分解與整式乘法是互逆關係.因式分解與整式乘法的區別和聯絡 1 整式乘法是把幾個整式相乘,化為乙個多項式 2 因式分解是把乙個多項式化為幾個因式相乘.二.因式分解方法 ...