整式乘除與因式分解
一、知識點總結：
1、單項式的概念：由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的乙個數或乙個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的係數，字母指數和叫單項式的次數。
如：的係數為，次數為4，單獨的乙個非零數的次數是0。
2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數最高項的次數叫多項式的次數。
如：，項有、、、1，二次項為、，一次項為，常數項為1，各項次數分別為2，2，1，0，係數分別為1，-2，1，1，叫二次四項式。
3、整式：單項式和多項式統稱整式。
注意：凡分母含有字母代數式都不是整式。也不是單項式和多項式。
4、多項式按字母的公升（降）冪排列：
如： 按的公升冪排列：
按的降冪排列：
按的公升冪排列：
按的降冪排列：
5、同底數冪的乘法法則：（都是正整數）
同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。
如： 6、冪的乘方法則：（都是正整數）
冪的乘方，底數不變，指數相乘。如：
冪的乘方法則可以逆用：即
如： 7、積的乘方法則： （是正整數）
積的乘方，等於各因數乘方的積。
如：（=
8、同底數冪的除法法則：（都是正整數，且
同底數冪相除，底數不變，指數相減。如：
9、零指數和負指數；
，即任何不等於零的數的零次方等於1。
（是正整數），即乙個不等於零的數的次方等於這個數的次方的倒數。
如： 10、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的係數，相同字母分別相乘，對於只在乙個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的乙個因式。
注意：①積的係數等於各因式係數的積，先確定符號，再計算絕對值。
②相同字母相乘，運用同底數冪的乘法法則。
③只在乙個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的乙個因式
④單項式乘法法則對於三個以上的單項式相乘同樣適用。
⑤單項式乘以單項式，結果仍是乙個單項式。
如： 11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，
即(都是單項式)
注意：①積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同。
②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。
③在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合併同類項。]
如： 12、多項式與多項式相乘的法則；
多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所的的積相加。
如： 13、平方差公式：注意平方差公式展開只有兩項
公式特徵：左邊是兩個二項式相乘，並且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。
如：14、完全平方公式：
公式特徵：左邊是乙個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍。
注意：完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。
15、三項式的完全平方公式：
16、單項式的除法法則：
單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式。
注意：首先確定結果的係數（即係數相除），然後同底數冪相除，如果只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式
如： 17、多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。
即： 18、因式分解：
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知識點分析：
1.同底數冪、冪的運算：
am·an=am+n(m，n都是正整數).
(am)n=amn(m，n都是正整數).
例題1.若，則a若，則n
例題2.若，求的值。
例題3.計算
練習1.若，則
2.設4x=8y-1,且9y=27x-1,則x-y等於
2.積的乘方
(ab)n=anbn(n為正整數).積的乘方，等於把積的每乙個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
例題1. 計算：
3.乘法公式
平方差公式：
完全平方和公式：
完全平方差公式：
例題1. 利用平方差公式計算：2009×2007－20082
例題2.利用平方差公式計算：．
例題3.利用平方差公式計算：．
例題4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
變式練習
1．廣場內有一塊邊長為2a公尺的正方形草坪，經統一規劃後，南北方向要縮短3公尺，東西方向要加長3公尺，則改造後的長方形草坪的面積是多少？
2.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－．
3. 已知求的值
4、已知 ，求xy的值
5.如果a＋b－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值
6.試說明
（1） 兩個連續整數的平方差必是奇數
（2） 若a為整數，則能被6整除
7.乙個正方形的邊長增加4cm ，面積就增加56cm ，求原來正方形的邊長
4.單項式、多項式的乘除運算
（1）（a－b）（2a＋b）（3a2＋b2）；
（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．
（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．
5. 因式分解：
1.提公因式法：式子中有公因式時，先提公因式。
例1把分解因式．
分析：把多項式的四項按前兩項與後兩項分成兩組，並使兩組的項按的降冪排列，然後從兩組分別提出公因式與，這時另乙個因式正好都是，這樣可以繼續提取公因式．
解： 說明：用分組分解法，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將
一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試．
例2把分解因式．
分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號開啟後重新分組，然後再分解因式．
解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組後，為了提公因式，又運用了分配律．由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用．
2. 公式法：根據平方差和完全平方公式
例題1 分解因式
3.配方法：
例1分解因式
解：說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方後將二次三項式化為兩個平方式，然後用平方差公式分解．當然，本題還有其它方法，請大家試驗．
4.十字相乘法：
（1）．型的因式分解
這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：
(1) 二次項係數是1；(2) 常數項是兩個數之積；(3) 一次項係數是常數項的兩個因數之和．
因此，運用這個公式，可以把某些二次項係數為1的二次三項式分解因式．
例1把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
．(2)說明：此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項係數的符號相同．
例2把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
(2)說明：此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號的因數，其中絕對值較大的因數與一次項係數的符號相同．
例3把下列各式因式分解：
(12)
分析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項係數是，把分解成與的積，而，正好是一次項係數．
2) 由換元思想，只要把整體看作乙個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．
解：(1)
(2)（2）．一般二次三項式型的因式分解
大家知道，．
反過來，就得到：
我們發現，二次項係數分解成，常數項分解成，把寫成，這裡按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等於的一次項係數，那麼就可以分解成，其中位於上一行，位於下一行．
這種借助畫十字交叉線分解係數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定乙個二次三項式能否用十字相乘法分解．
例4把下列各式因式分解：
(12)
解：(1
(2)說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項係數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘後，若原常數為負數，用減法」湊」，看是否符合一次項係數，否則用加法」湊」，先」湊」絕對值，然後調整，新增正、負號．
練習1、 已知，，求的值。
2、 若x、y互為相反數，且，求x、y的值
提高練習
1．（2x2－4x－10xy）÷（ ）＝x－1－y．
2．若x＋y＝8，x2y2＝4，則x2＋y2
3．代數式4x2＋3mx＋9是完全平方式則m
4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等於
（a）a4－1 （b）a4＋1 （c）a4＋2a2＋1 （d）1－a4
5．已知a＋b＝10，ab＝24，則a2＋b2的值是
（a）148 （b）76 （c）58 （d）52
6．（2）（＋3y）2－（－3y）2；（2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；
7．（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）的值．
8．已知x＋＝2，求x2＋，x4＋的值．
9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代數式－ab的值．
10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展開後不含x2，x3項，求p、q的值．
《整式的乘除與因式分解》單元試題
一、選擇題：（每小題3分，共18分）
1、下列運算中，正確的是( )
b.(ab)3=a3b3 c.3a+2a=5a2 d.（x）= x5
2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（ ）
（ab）
（c） （d）
3、下列各式是完全平方式的是
a、 b、 c、 d、
4、下列多項式中能用平方差公式分解因式的是
（a） （b） （c） （d）
5、如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項，則m的值為（ ）
a. –3b. 3c. 0d. 1
6、乙個正方形的邊長增加了，面積相應增加了，則這個正方形的邊長為（ ）
初二數學因式分解知識點總結
即 都是單項式 注意 積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合併同類項。如 12 多項式與多項式相乘的法則 多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所的的積相加。如 ...
初二數學因式分解知識點經典總結
整式乘除與因式分解 概述 定義 把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。意義 它是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需...
知識點總結因式分解
因式分解 概念 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，如下 1 提公因式法 如果乙個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例題 1 2x2y xy2 6a2b3 9ab2 3 x a b y...