競賽輔導資料一
因式分解
1．運用公式法
即為因式分解中常用的公式，
(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；
(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；
(7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)其中n為正整數；
(8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n為偶數；
(9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n為奇數．
例1 分解因式：
(1)－2x5n+1yn+4x3n+1yn+2－2xn+1yn+4；
(2)x3－8y3－z3－6xyz；
(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；
(4)a7－a5b2+a2b5－b7．
例2 分解因式：a3+b3+c3－3abc．
解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc
=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．
說明公式(6)是乙個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c3－3abc
顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有
等號成立的充要條件是x=y=z．這也是乙個常用的結論．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數順次遞減至0，由此想到應用公式an－bn來分解．
解因為x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，
所以2．拆項、添項法
因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合併為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合併或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，後者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．
例4 分解因式：x3－9x+8．
分析本題解法很多，這裡只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．
解法1 將常數項8拆成－1+9．
原式=x3－9x－1+9
=(x3－1)－9x+9
=(x－1)(x2+x+1)－9(x－1)
=(x－1)(x2+x－8)．
解法2 將一次項－9x拆成－x－8x．
原式=x3－x－8x+8
=(x3－x)+(－8x+8)
=x(x+1)(x－1)－8(x－1)
=(x－1)(x2+x－8)．
解法3 將三次項x3拆成9x3－8x3．
原式=9x3－8x3－9x+8
=(9x3－9x)+(－8x3+8)
=9x(x+1)(x－1)－8(x－1)(x2+x+1)
=(x－1)(x2+x－8)．
解法4 新增兩項－x2+x2．
原式=x3－9x+8
=x3－x2+x2－9x+8
=x2(x－1)+(x－8)(x－1)
=(x－1)(x2+x－8)．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3－3；
(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；
(4)a3b－ab3+a2+b2+1．
課內練習
1. 若a+b=3,a2b+ab2=－30,則a3+b3 的值是（ ）
（a）117 （b）133 （c）－90 （d）143
2. 已知，那麼等於
3. 把代數式分解成因式的乘積，應當是 。
4. 5．分解因式
3．換元法
換元法指的是將乙個較複雜的代數式中的某一部分看作乙個整體，並用乙個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．
例1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．
例2 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．
例3 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解設x2+4x+8=y，則
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．
例4 分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2
=6［(x4－2x2+1)+2x2］+7x(x2－1)－36x2
=6[(x2－1)2+2x2]+7x(x2－1)－36x2
=6(x2－1)2+7x(x2－1)－24x2
=[2(x2－1)－3x］［3(x2－1)+8x]
=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)
=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．
說明本解法實際上是將x2－1看作乙個整體，但並沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法後，並非每題都要設定新元來代替整體．
解法2原式=x2[6(t2+2)+7t－36]
=x2(6t2+7t－24)=x2(2t－3)(3t+8)
=x2[2(x－1/x)－3][3(x－1/x)+8]
=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)
=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．
例5 分解因式：(x2+xy+y2)－4xy(x2+y2)．
分析本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對於較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
解原式=[(x+y)2－xy]2－4xy[(x+y)2－2xy]．令x+y=u，xy=v，則
原式=(u2－v)2－4v(u2－2v)
=u4－6u2v+9v2
=(u2－3v)2
=(x2+2xy+y2－3xy)2
=(x2－xy+y2)2．
4．雙十字相乘法
分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2－7xy－22y2－5x+35y－3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為
2x2－(5+7y)x－(22y2－35y+3)，
可以看作是關於x的二次三項式．
對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為
即 －22y2+35y－3=(2y－3)(－11y+1)．
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以原式=［x+(2y－3)］［2x+(－11y+1)］
=(x+2y－3)(2x－11y+1)．
上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合併在一起，可得到下圖：
它表示的是下面三個關係式：
(x+2y)(2x－11y)=2x2－7xy－22y2；
(x－3)(2x+1)=2x2－5x－3；
(2y－3)(－11y+1)=－22y2+35y－3．
這就是所謂的雙十字相乘法．
用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到乙個十字相乘圖(有兩列)；
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第
二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第
一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
例6 分解因式：
(1)x2－3xy－10y2+x+9y－2；
(2)x2－y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x－y－2；
(4)6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2．
解 (3)原式中缺x2項，可把這一項的係數看成0來分解．
原式=(y+1)(x+y－2)．
(4)原式=(2x－3y+z)(3x+y－2z)．
說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．
1.當m=時，二元二次六項式可以分解為兩個關於x,y的二元一次三項式的乘積。
2.分解因式：
3.分解因式：
4.分解因式：
5．求根法我們把形如anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x)，g(x)，…等記號表示，如
f(x)=x2－3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)
f(1)=12－3×1+2=0；
f(－2)=(－2)2－3×(－2)+2=12．
若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的乙個根．
競賽輔導 因式分解的常用方法
六 雙十字相乘法。定義 雙十字相乘法用於對型多項式的分解因式。條件 1 2 即，則例12 分解因式 1 2 解 1 應用雙十字相乘法 原式 2 應用雙十字相乘法 原式 練習12 分解因式 1 2 七 換元法。例13 分解因式 1 2 解 1 設2005 則原式 2 型如的多項式，分解因式時可以把四個...
15 4因式分解專題輔導
1 把下列各式分解因式.1 9x2 12x 43 1 10x 25x24 m n 2 6 m n 9.5 x2 7x 106 x2 2x 87 x2 7x 18.8 y2 7y 109 x3 2x2 x10 a b 2 4a2 11 x4 81x2y212 x2 x y y2 y x13 a b c...
因式分解小結
知識精讀 因式分解是把乙個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的物件是多項式 2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式 3.分解因式，必須進行到每乙個因式都不能再分解為止 4.公...