第一章函式與極限
一、主要內容小結
（一）、函式
1．定義設是兩個變數，若在其變化範圍內任取乙個值，按照一定的法則有唯一確定的值與之對應，則稱變數是變數的函式.記作.稱為自變數，稱為因變數，稱為函式的定義域.
注意如何求函式的定義域（分一般解析式、分段函式、復合函式分析）
2．函式的性質：有界性、單調性、奇偶性、週期性。
3．初等函式與基本初等函式
基本初等函式：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式。
初等函式：由常數和基本初等函式經過有限次四則運算和有限次復合所得的並用乙個式子表示的函式稱為初等函式。
（二）極限
1．極限的定義
數列極限的定義：對於當時，總有，則稱為數列當時的極限，記為。
函式極限的定義：對於當時，總有，則稱為函式當時的極限，記為。
函式極限的定義：對於當時，總有，則稱為函式當時的極限，記為。
2．左（右）極限：對於當時，總有
，則稱為函式當從左（右）側趨於時的極限，記作。
3．無窮小：若，則稱為時的無窮小。
無窮大：對於當時，總有，
則稱當時為無窮大，記為。
無窮小的比較：設，
（1）若，則稱是比高階的無窮小，記為。
（2）若，則稱是比低階的無窮小。
（3）若，則稱與是同階無窮小。
（4）若，則稱與是等價無窮小，記為 。
（5）若，則稱是的階無窮小。
4．求極限的常用工具及常用方法：（包括相關定理）
（1）基本極限： （為常數），
（2）極限的四則運算
. 注意在商的運算法則中,分母的極限不為零。
（3）兩個極限存在準則：
夾逼準則：設滿足兩個條件：（1）；（2）則．
單調有界數列必存在極限。
（4）兩個重要極限：
； ；；。
（5）利用無窮小的性質
設是自變數的同一變化過程中的無窮小，是有界量，是常數，，則
１）是這一變化過程中的無窮小；
２）；３），，存在（等價無窮小代換定理）
特別地,.
（6）常用的等價無窮小
，。（7）利用函式的連續性：
1）設函式在點連續，則。
2）設，而在處連續，則
（8）利用左右極限：
；。（9）利用極限的有關定理
定理１其中。
定理2 （保號性）若，則存在，當
時，。定理3 若，則。
（10）利用極限定義證明。
（三）連續
1．定義 ，或，
則稱在點連續。
2．運算法則（由極限運算法則）
3．間斷點若函式在點不連續,則稱為的間斷點。
第一類間斷點左、右極限都存在的間斷點；
第二類間斷點左、右極限至少有乙個不存在的間斷點：無窮間斷點
4．初等函式的連續性初等函式在其定義域內均連續。
5．閉區間上連續函式的性質
定理1（有界性與最大值最小值定理）閉區間上的連續函式在該區間上有界且一定有最大值和最小值。
定理2（零點定理）設在上連續，且，則至少存在乙個，使得。
定理3（介值定理）設在上連續，且，若是介於與之間的任意數，則至少存在乙個，使得。
第二章導數與微分
一、主要內容小結
1. 導數的定義
定義1設在點的某鄰域內有定義，若極限存在，則稱在點處可導，該極限值稱為在處的導數，記為, ， 即=（2.1）
令, 則上式可改寫為2.2）
注意用導數定義求某點處的導數，尤其分段函式在分界點處的導數，通常用（2.2）簡便.
定義2 函式在處的左、右導數分別定義為：
左導數或2.3)
右導數或2.4)
導數的幾何意義在處的導數，表示曲線在處的切線的斜率，即.如圖2-1所示.
定義3 若在內每一點均可導，則稱該函式在內可導；若在內可導，且右導數和左導數存在，則在上可導..
定理1 存在 .
定理2 若在點處可導，則在點x處連續；反之不真.
2.導數的運算法則：設均可導，則
3 基本求導公式
(常數為常數）
特例特例
4 復合函式微求導
設, , 若在處可導，在對應點處可導，則復合函式在處可導，且有或
這種求復合函式導數的方法稱之為連鎖法則，該法則可推廣到多個函式復合的情形中去.
5 反函式的微分法
設在點的某鄰域內單調連續，在點處可導，，則其反函式在點所對應的處可導，並且
6 隱函式微求導
若是由方程確定的可微函式，其導數的求法有兩種方法：
方程兩邊對求導，然後解出；
冪指函式求導
（,）]
所以函式表示式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法.
方法：對數求導法（即先對式子的兩邊取自然對數，然後在等式的兩端再對求導）.
7 由引數方程確定函式的求導
設,均二階可導，且≠0，由引數方程
所確定的函式的一階導數為
又所以的二階導數為
8 分段函式的導數
各區間段內導數可用求導公式及法則求出，而分界點處的導數一般要用導數的定義求.
9. 高階導數
當為階可導函式時，則
10. 求曲線的切線、法線
在處可導，曲線在點處的切線與法線方程分別為
切線法線
11 微分的定義
定義若在點處的某鄰域內有定義，當自變數在點取得增量時，函式的增量可表示為= a，其中a是與無關的量，是當時比高階的無窮小，則稱在處可微，a稱為在點處的微分，記為或, 即= = a。
由於當為自變數時, 同時可證.所以上式又可寫成=
定理函式在處可微在處可導.
第三章中值定理與導數的應用
一、主要內容小結
1．中值定理
羅爾中值定理如果函式在閉區間上連續，在開區間內可導，且，那麼至少存在一點，使得。
拉格朗日中值定理如果函式在閉區間上連續，在開區間內可導，那麼至少存在一點，使得，
或 。
推論1 若在內可微，且，則為常數。
推論2 若與在內可微，且，則在內有，
柯西中值定理如果函式及在閉區間上連續，在開區間內可導，且在內每一點處均不為零，則至少存在一點，使得。
2． 洛必達法則
定理(型) 設 ①當時，函式及都趨於零；
② 在點的某去心鄰域內，及都存在且；
③存在(或為無窮大)；
那麼注意： 1定理中，將改為，或者，在相應的條件下，結論也成立。
2對或時的未定式型，亦有相應的洛必達法則。其它未定式有時可轉化成(型) 或型
3、函式的單調性和極值
函式單調性的判別法 ：設在上連續，在內可導。若在內，則在上單調增加(減少)。
定理1（極值的必要條件） 設在點處可導，且在處取得極值，則。
定理2（極值的第一充分條件）設在的某一鄰域內可導，且。如果在該鄰域內：
① 當時；當時，則在處取得極小值。
② 當時；當時，則在處取得極大值。
③ 當或時，不改變符號，則在處不取得極值。
定理3（極值的第二充分條件） 設函式在的某一鄰域內二階可導，且，而，則
① 當時，在處取得極小值；
② 當時，在處取得極大值。
5、函式最值
設在上連續，是的駐點或使不存在的點，則中最大(小)者為在上的最大(小)值。
6、凹凸性和拐點
定義設在區間i上連續，如果對i上任意兩點，恒有
那麼就稱在區間i上的圖形是凹的（或凹弧）；如果恒有
那麼就稱在區間i上的圖形是凸的（或凸弧）。
凹凸性的判定方法
定理設在上連續，在內二階可導，那麼
① 若在內，則曲線在上是凹的；
② 若在內，則曲線在上是凸的。
拐點的判定方法：設函式在的某一鄰域內二階可導，且(或不存在)，如果在該鄰域內：
①在點的左右兩側異號，則是曲線的拐點；
②在點的左右兩側同號，則不是曲線的拐點。
7、函式圖形的描繪
函式漸近線的求法：
①若，則是函式的垂直漸近線。
②若，則是函式的水平漸近線。
③若，則是函式的斜漸近線。
第四章不定積分
一、內容提要
1. 原函式和不定積分的概念
原函式：若對於某區間i上任意一點均有或，則稱是在i上的原函式。
不定積分：在區間i上的原函式全體稱為在i上的不定積分，即若是在i上的任一原函式，則（c為任意常數）。
2. 不定積分的性質
性質1 或。
性質2 或。
性質3 （k為非零常數）。
性質4 。
3. 基本積分公式
(是常數)； ；
； ；
； ；
； ；
；；; ;
。4. 求不定積分的基本方法
（1）第一類換元積分法(湊微分法)：
(令)（2）第二類換元積分法 ：
. 三角函式代換法根式代換法倒代換法
（3）分部積分法
高等代數習題冊Ch1 Ch4
高等代數習題冊 作業說明 教師每次講完章節內容，同學們完成相應的習題，從開課第二週起一般每週交一次作業。作業直接寫在習題冊上，寫不下可寫背面 第一章行列式 1引言 一填空題 1 最小的數環是最小的數域是 2 一非空數集,包含0和1,且對加減乘除四種運算封閉，則其為 二證明題 1.證明是乙個數域，其中...
高數複習知識點
高等數學上冊知識點 一 函式與極限 一 函式 1 函式定義及性質，常用的經濟函式 2 反函式 復合函式 函式的運算 3 初等函式 5類 影象特徵，性質 4 函式的連續性與間斷點 重點 間斷點 第一類，第二類 5 閉區間上連續函式的性質.二 極限 1 定義 2 無窮小 大 量 無窮小的階 高階無窮小 ...
考研高數知識點
高等數學公式 導數公式 基本積分表 三角函式的有理式積分 一些初等函式兩個重要極限 三角函式公式 誘導公式 和差角公式和差化積公式 倍角公式 半形公式 正弦定理 餘弦定理 反三角函式性質 高階導數公式 萊布尼茲 leibniz 公式 中值定理與導數應用 曲率 定積分的近似計算 定積分應用相關公式 空...