高等數學下冊知識點
第八章空間解析幾何與向量代數
(一) 向量及其線性運算
1、 向量,向量相等,單位向量,零向量,向量平行、共線、共面;
2、 線性運算:加減法、數乘;
3、 空間直角座標系:座標軸、座標面、卦限,向量的座標分解式;
4、 利用座標做向量的運算:設,,
則,;5、 向量的模、方向角、投影:
1) 向量的模:;
2) 兩點間的距離公式:
3) 方向角:非零向量與三個座標軸的正向的夾角
4) 方向余弦:
5) 投影:,其中為向量與的夾角。
(二) 數量積,向量積
1、 數量積:
1)2)
2、 向量積:
大小:,方向:符合右手規則
1)2)
運算律:反交換律
(三) 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念:
2、 旋轉曲面:
面上曲線,
繞軸旋轉一周:
繞軸旋轉一周:
3、 柱面:
表示母線平行於軸,準線為的柱面
4、 二次曲面
1) 橢圓錐面:
2) 橢球面:
旋轉橢球面:
3) 單葉雙曲面:
4) 雙葉雙曲面:
5) 橢圓拋物面:
6) 雙曲拋物面(馬鞍面):
7) 橢圓柱面:
8) 雙曲柱面:
9) 拋物柱面:
(四) 空間曲線及其方程
1、 一般方程:
2、 引數方程:,如螺旋線:
3、 空間曲線在座標面上的投影
,消去,得到曲線在面上的投影
(五) 平面及其方程
1、 點法式方程:
法向量:,過點
2、 一般式方程:
截距式方程:
3、 兩平面的夾角:,,
4、 點到平面的距離:
(六) 空間直線及其方程
1、 一般式方程:
2、 對稱式(點向式)方程:
方向向量:,過點
3、 引數式方程:
4、 兩直線的夾角:,,
5、 直線與平面的夾角:直線與它在平面上的投影的夾角,
第九章多元函式微分法及其應用
(一) 基本概念
1、 距離,鄰域,內點,外點,邊界點,聚點,開集,閉集,連通集,區域,閉區域,有界集,無界集。
2、 多元函式:,圖形:
3、 極限:
4、 連續:
5、 偏導數:
6、 方向導數:
其中為的方向角。
7、 梯度:,則。
8、 全微分:設,則
(二) 性質
1、 函式可微,偏導連續,偏導存在,函式連續等概念之間的關係:
2、 閉區域上連續函式的性質(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、 微分法
1) 定義
2) 復合函式求導:鏈式法則
若,則, 3) 隱函式求導:兩邊求偏導,然後解方程(組)
(三) 應用
1、 極值
1) 無條件極值:求函式的極值
解方程組求出所有駐點,對於每乙個駐點,令
,,,1 若,,函式有極小值,
若,,函式有極大值;
2 若,函式沒有極值;
3 若,不定。
2) 條件極值:求函式在條件下的極值
令lagrange函式
解方程組
2、 幾何應用
1) 曲線的切線與法平面
曲線,則上一點(對應引數為)處的
切線方程為:
法平面方程為:
2) 曲面的切平面與法線
曲面,則上一點處的切平面方程為:
法線方程為:
第十章重積分
(一) 二重積分
1、 定義:
2、 性質:(6條)
3、 幾何意義:曲頂柱體的體積。
4、 計算:
1) 直角座標,,
2) 極座標
(二) 三重積分
1、 定義:
2、 性質:
3、 計算:
1) 直角座標
先一後二」
先二後一」
2) 柱面座標
, 3) 球面座標
(三) 應用
曲面的面積:
第十一章曲線積分與曲面積分
(一) 對弧長的曲線積分
1、 定義:
2、 性質:
1) 2)
3)在上,若,則
4)( l 為曲線弧 l的長度)
3、 計算:
設在曲線弧上有定義且連續,的引數方程為,其中在上具有一階連續導數,且,則
(二) 對座標的曲線積分
1、 定義:設 l 為面內從 a 到b 的一條有向光滑弧,函式,在 l 上有界,定義,
.向量形式:
2、 性質:
用表示的反向弧 , 則
3、 計算:
設在有向光滑弧上有定義且連續,的引數方程為
,其中在上具有一階連續導數,且,則
4、 兩類曲線積分之間的關係:
設平面有向曲線弧為,上點處的切向量的方向角為:,,,
則.(三) 格林公式
1、格林公式:設區域 d 是由分段光滑正向曲線 l 圍成,函式在
d 上具有連續一階偏導數, 則有
2、為乙個單連通區域,函式在上具有連續一階偏導數,則
曲線積分在內與路徑無關
曲線積分
在內為某乙個函式的全微分
(四) 對面積的曲面積分
1、 定義:
設為光滑曲面,函式是定義在上的乙個有界函式,
定義 2、 計算:———「一單二投三代入」
,,則(五) 對座標的曲面積分
1、 預備知識:曲面的側,曲面在平面上的投影,流量
2、 定義:
設為有向光滑曲面,函式是定義在上的有界函式,定義
同理,3、 性質:
1),則
2)表示與取相反側的有向曲面 , 則
4、 計算:——「一投二代三定號」
,,在上具有一階連續偏導數,在上連續,則,為上側取「 + 」,為下側取「 - 」.
5、 兩類曲面積分之間的關係:
其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。
(六) 高斯公式
1、 高斯公式:設空間閉區域由分片光滑的閉曲面所圍成,的方向取外側, 函式在上有連續的一階偏導數, 則有
或2、 通量與散度
通量:向量場通過曲面指定側的通量為:
散度:(七) 斯托克斯公式
1、 斯托克斯公式:設光滑曲面的邊界是分段光滑曲線, 的側與的正向符合右手法則,在包含在內的乙個空間域內具有連續一階偏導數, 則有
為便於記憶, 斯托克斯公式還可寫作:
2、 環流量與旋度
環流量:向量場沿著有向閉曲線的環流量為
旋度:第十二章無窮級數
(一) 常數項級數
1、 定義:
1)無窮級數:
部分和:,
正項級數:,
交錯級數:,
2)級數收斂:若存在,則稱級數收斂,否則稱級數發散
3)條件收斂:收斂,而發散;
絕對收斂:收斂。
2、 性質:
1) 改變有限項不影響級數的收斂性;
2) 級數,收斂,則收斂;
3) 級數收斂,則任意加括號後仍然收斂;
4) 必要條件:級數收斂.(注意:不是充分條件!)
3、 審斂法
正項級數:,
1) 定義:存在;
2) 收斂有界;
3) 比較審斂法:,為正項級數,且
若收斂,則收斂;若發散,則發散.
4) 比較法的推論:,為正項級數,若存在正整數,當時,,而收斂,則收斂;若存在正整數,當時,,而發散,則發散.
5) 比較法的極限形式:,為正項級數,若,而收斂,則收斂;若或,而發散,則發散.
6) 比值法:為正項級數,設,則當時,級數收斂;則當時,級數發散;當時,級數可能收斂也可能發散.
7) 根值法:為正項級數,設,則當時,級數收斂;則當時,級數發散;當時,級數可能收斂也可能發散.
8) 極限審斂法:為正項級數,若或,則級數發散;若存在,使得,則級數收斂.
交錯級數:
萊布尼茨審斂法:交錯級數:,滿足:,且,則級數收斂。
任意項級數:
絕對收斂,則收斂。
常見典型級數:幾何級數:
p -級數:
(二) 函式項級數
1、 定義:函式項級數,收斂域,收斂半徑,和函式;
2、 冪級數:
收斂半徑的求法:,則收斂半徑
3、 泰勒級數
展開步驟:(直接展開法)
1) 求出;
2) 求出;
3) 寫出;
4) 驗證是否成立。
間接展開法:(利用已知函式的展開式)
1);2);
3);4);
5)6)
7)8)
4、 傅利葉級數
1) 定義:
正交系:函式系中任何不同的兩個函式的乘積在區間上積分為零。
傅利葉級數:
係數:2) 收斂定理:(展開定理)
設 f (x) 是週期為2 的週期函式, 並滿足狄利克雷( dirichlet )條件:
1) 在乙個週期內連續或只有有限個第一類間斷點;
2) 在乙個週期內只有有限個極值點,
則 f (x) 的傅利葉級數收斂 , 且有
3) 傅利葉展開:
①求出係數:;
②寫出傅利葉級數;
③根據收斂定理判定收斂性。
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第六章空間解析幾何與向量代數 一 向量及其線性運算 1 向量,向量相等,單位向量,零向量,向量平行 共線 共面 2 線性運算 加減法 數乘 3 空間直角座標系 座標軸 座標面 卦限,向量的座標分解式 4 利用座標做向量的運算 設,則,5 向量的模 方向角 投影 1 向量的模 2 兩點間的距離公式 3...
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第一章基礎知識部分 1.1初等函式 一 函式的概念 1 函式的定義 函式是從量的角度對運動變化的抽象表述,是一種刻畫運動變化中變化量相依關係的數學模型。設有兩個變數x與y,如果對於變數x在實數集合d內的每乙個值,變數y按照一定的法則都有唯一的值與之對應,那麼就稱x是自變數,y是x的函式 記作y f ...
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第四章整式的運算 一 整式 單項式和多項式統稱整式。a 由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨乙個數或字母也是單項式。b 單項式的係數是這個單項式的數字因數,作為單項式的係數,必須連同數字前面的性質符號,如果乙個單項式只是字母的積,並非沒有係數,係數為1或 1。c 乙個單項式中,所有字母的指數和...