一、第3章水動力學基礎(2)
【教學基本要求】
1、掌握恆定總流的動量方程及其應用條件和注意事項，掌握動量方程投影表示式和向量投影正負號的確定方法，會進行作用在總流上外力的分析。
2、能應用恆定總流的動量方程、能量方程和連續方程聯合求解，解決工程實際問題。。
3、了解液體運動的基本形式：平移，變形（線變形和角變形），旋轉。
4、理解無旋流動（有勢流動）和有旋流動的定義。
5、初步掌握流函式、勢函式的性質和流網原理。
【學習重點】
1、掌握恆定總流動量方程的向量形式和投影形式，掌握恆定總流動量方程的應用條件和注意事項。重點注意和影響水體動量變化的作用力。
2、能應用恆定總流的連續方程、能量方程和動量方程進行水力計算。
【內容提要和學習指導】
3.6恆定總流動量方程
恆定總流動量方程是動量定理在液體流動中的表示式，它反映水流動量變化與作用力之間的關係。
恆定總流動量方程主要用於求解水流與固體邊界之間的相互作用力，如水流對彎管的作用力，水流作用在閘門和建築物上的動水壓力以及射流的衝擊力等。
（1）恆定總流動量方程
根據動量定理可匯出恆定總流的動量方程式為
3—9）
恆定總流動量方程的物理意義表明：單位時間內流出控制體與流入控制體的水體動量之差等於作用在控制體內水體上的合外力。
恆定總流的動量方程是個向量方程，把動量方程沿三個座標軸投影，即得到投影形式的動量方程：
fx=ρq（β2 v 2x-β1 v 1x）
fy=ρq（β2 v 2y -β1 v 1y3—10）
fz=ρq（β2 v 2z -β1 v 1z）
式中：∑fx、∑fy、∑fz是作用在控制體上所有外力的合力沿x、y、z軸方向的分量；
v1x、v2x、v1y、v2y、v1z、v2z分別是控制體進出口斷面上的平均流速在x、y、z軸上的分量；
β1、β2為進出口斷面處的動量修正係數，已知斷面上的點流速u分布規律時，可以按下式計算
3—11）
β值一般約為1.02 ~ 1.05，通常取β1 =β2 = 1.0計算。
（2）恆定總流動量方程的應用條件和注意事項
a）水流是恆定流，並且控制體的進出口斷面都是漸變流，但兩個斷面之間可以是急變流。這與恆定總流能量方程的條件相同，這樣在應用能量方程和動量方程進行聯解時不會出現適用範圍的不一致。
b）動量方程是向量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，應用動量方程解題必須建立座標系。座標系可以任意選擇，但所選的座標系應使流速和作用力的投影分量越少越好，這樣可以減少方程中的未知數。
還必須注意，當流速或者作用力的投影分量與座標方向一致時，則為正值，否則應為負值。這一點在解題中經常容易發生錯誤，學員應特別注意。
c）動量方程式的右端應該是流出液體的動量減去流入液體的動量。
d）∑ 包括作用在控制體上的全部外力，不能遺漏，也不能多選，這也是解題中常會發生錯誤的地方。
外力通常包括重力（質量力）、壓力和周圍固體邊界對水體的反作用力。求水流與固體邊界之間的作用力是應用動量方程解題的主要任務，當所求的力的方向不能事先確定時，可以先假設其方向進行求解。如果求出該力為正值，表示假設方向正確；否則表示該力的實際作用方向與假設方向相反。
e）動量方程只能求解乙個未知數，如果方程中的未知數多於1個，必須與連續方程、能量方程聯合求解。
f）對於有分岔的管道，動量方程的向量形式為
3—12）
3.7液體微團的運動形式
在理論力學中，剛體有兩種基本運動形式，即平移和繞某瞬時固定軸的轉動。而液體能夠流動，發生變形，因此液體微團具有四種基本運動形式，即：
（1）平移運動：平移的速度為 ux, uy, uz
（2）線變形運動：線變形速度為3—13）
（3）角變形運動：角變形速度為
3—14）
（4）旋轉運動：旋轉角速度為
3—15）
式中：εi─邊線變形速度，θi─角變形速度，ωi─旋轉角速度。
在液體上述四種基本運動形式中，我們最關心的是旋轉運動，它對討論液體的運動和運動的求解十分重要。
如果液體微團的旋轉角速度ωx =ωy =ωz = 0，則液體是無旋流動或有勢流動（存在流速勢函式）；當ωx、ωy、ωz有乙個不為0，則液體作有旋流動或有渦流動。
3.8平面勢流的流函式和流速勢函式
（1） 流函式：平面流動中的流線方程uxdy-uydx=0能夠進行積分的條件是：它必須是某函式ψ(x,y)的全微分，我們把ψ稱為流函式。
流函式ψ存在的充分必要條件是滿足連續性方程，也就是說，對於連續的平面運動，流函式ψ總是存在的。
流函式與流速之間的關係可以表示為：
3—16）
流函式具有四個重要的性質：
1） 在平面無旋運動中，流函式滿足拉普拉斯方程，即
3—17）
在數學上把滿足拉普拉斯方程的函式稱為調和函式，所以ψ是調和函式。
2） 等流函式線就是流線，即ψ= 常數，它代表一條流線。
3） 兩條流線的流函式值之差等於兩條流線之間通過的單寬流量。
4）流函式的增值方向是流速向量方向逆時針旋轉90°的方向。
（2）流速勢函式：有勢流動的流場中必定存在乙個流速勢函式φ(x,y,z)，流速勢函式φ對各個座標軸的偏導數等於流速向量在該座標軸上的投影，即
（3—18）
也可以表示為 dφ= ux dx+uydy3—19）
流速勢函式具有下面四個性質：
1） 某瞬時流速勢函式φ對某方向的偏導數等於流速在該方向上的投影。
2） 流速勢函式也滿足拉普拉斯方程，即φ也是調和函式。
3） 當勢函式φ=常數，它表示一條等勢線。
4）流速勢函式的增值方向與流速方向一致。
3.9流網原理
在平面勢流中，流速勢函式φ等於不同常數時構成了一組等勢線，流函式ψ為不同常數時代表一組流線，這些等勢線和流線構成的網格即是流網。
流網有下列特徵：
1） 流線與等勢線處處正交，也就是說流網是正交網格。
2）如果取△φ=△ψ，則流網構成正交方格。利用組成流網的流函式與流速勢函式的性質，可以求解流場內任何一點的流速和壓強。
【思考題】
3—10建立動量方程有哪些條件？應用時要注意哪些問題？
3—11建立動量方程時如何建立座標可以簡化計算過程？
3—12為什麼邊界對水流的作用力方向可以任意假設？
3—13液體運動的基本形式有哪幾種？
3—14什麼是平面流動？
3—15什麼是有勢流動和有旋流動？有勢流動如何判別？
3—16什麼是流函式和流速勢函式？它們存在的條件是什麼？有哪些性質？
3—17流網是怎麼構成的？它具有什麼性質？
【解題指導】
例題3—4請參閱教材上的例3—11，
例題3—5有乙個水平放置的彎管，直徑從d1 =30cm漸變到d2 =20cm，轉角θ=60°，如圖所示。已知彎管1—1斷面的平均動水壓強p1 =35000n/m2，斷面2—2的平均動水壓強為p2 =25840n/m2，通過彎管的流量q =150l/s。求水流對彎管的作用力。
解：根據題意要求水流對彎管的作用力，應該用動量方程進行求解。
（1）取彎管的1—1與2—2斷面之間的水體作為脫離體（如圖）。斷面1—1和2—2兩過水斷面的動水壓力可以按靜水總壓力的公式計算。
（2）分析作用在脫離體上的外力：
斷面1-1和2-2上的動水總壓力分別為p1與p2，
p1=p1a1， p2=p2a2。
管壁對水流作用力r，它實際上是水流對管壁作用力r′的反作用力，二者大小大小相等，方向相反。這一作用力r′包括水流對管壁的動水總壓力與水流對管壁表面作用的摩擦阻力，如果求出作用力r，也就求得了水流對管壁的總作用力r′。為了計算方便，將作用力r分解為x和y方向上的兩個分量rx和ry，rx和ry 的方向可以任意假設，如果計算結果為正值，說明假設方向是正確的，若為負值，說明假設方向與實際作用力方向相反。
重力（脫離體內水體自重）垂直於水平面，對彎管水流運動沒有影響。
（3） 建立x軸與y軸方向的動量方程，所取座標系如圖所示。取動量修正係數12=1.0。
沿x軸方向寫動量方程，得
沿y軸方向寫動量方程得
合力的大小為
n 合作用力的方向為
所以水流對彎管的作用力為r′=r，方向與r相反，與x軸的夾角為α=5344′
例題3—6如圖所示，乙個水平放置的三通管，主管的直徑d=120cm，兩根支管的直徑為d = 85cm，分叉角α=45°，主管過水斷面1—1處的動水壓強水頭p1/γ=100m（水柱），通過的流量q=3m3/s，兩根支管各通過二分之一的流量。假設不計損失，求水流對三通管的作用力。
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