水力學輔導資料四
主題：第三章水動力學基礎4-6節
學習時間：2023年10月24日－10月30日
內容：我們這周主要學習水力學的第三章的4-6節。希望通過下面的內容能使同學們加深對恆定總流能量方程、動量方程等相關知識的理解。
一、學習要求
1. 掌握恆定總流能量方程的應用；
2. 掌握恆定總流的動量方程；
3. 掌握恆定總流動量方程的應用。
二、主要內容
重要知識點：
恆定總流能量方程的應用；恆定總流的動量方程；恆定總流動量方程的應用。
第三章水動力學基礎
第四節恆定總流能量方程的應用
（一）應用條件（重要知識點，常見簡答題或拆分為選擇題）
（1）恆定流；（2）不可壓縮液體；（3）質量力只有重力；（4）過水斷面在均勻流或漸變流的區段上。
（二）注意事項（常見判斷題）
1. 基準面可任意選取，但必須是水平面，盡量使；
2. 壓強標準也可以任意選取，或絕對壓強或相對壓強，但是，當有真空現象出現時，最好取絕對壓強；
3. 選取已知量盡量多的斷面作為計算斷面；
4. 斷面上的計算點可任意選取，因為在過水斷面上為常數，並且也不變，但是，對於管路常取其斷面的形心，水池、水箱及明渠常取水面上的點。（重點掌握能量方程的應用，常見計算題，典型例題見後例題總結）
第五節恆定總流的動量方程
在水電工程中，常遇到水流對固體邊界的作用力問題，如水流作用於溢流堰、閘門及挑流鼻坎上的作用力，水流對彎管、漸變管段的作用力，以及射流的衝擊力等。這些問題只用能量方程是不能解決的，必須借助連續方程和動量方程聯合解決。
1. 動量方程
上式就是不可壓縮液體恆定總流的動量方程。它表示在單位時間內，通過控制體表面流出與流入控制體的動量差，等於作用在該控制體上所有外力的向量和。作用在控制體上的外力包括：
作用在流段兩端斷面上的動水壓力、重力和固體邊界對控制體的作用力。
上式是向量式，其中力和速度都是向量，為了便於計算，必須建立座標系。在直角座標系中，可寫成下面三個分量表示式：（熟記，並掌握各引數意義）
式中、、是作用在控制上所有外力分別在、、三個座標軸上投影的代數和；、、、、、是速度和分別在、、三個座標軸上的投影。
第六節恆定總流動量方程的應用
（一）應用條件（重要知識點，常見簡答題或拆分為選擇題）
1. 恆定流。只有這樣才能夠保證在推導動量方程時，認為dt時段初末公共段內液體的動量不變。
2. 漸變流。只有是漸變流才能夠保證推導動量方程時，認為斷面平均流速的方向與實際流速的方向一致。另外更重要的是，保證在求流入流出斷面上的動水壓強時能夠應用能量方程。
3. 不可壓縮的均質液體。因為在推導動量方程時認為整個控制體內液體的密度為常數。
（二）注意事項（常見判斷題）
1. 視其方便選取座標軸方向，注意作用力及速度的正負號。
2. 外力應該包括作用在控制體上的質量力（重力）、表面力（主要指動水壓力）和固體邊界的反作用力。固體邊界反作用力的方向可事先假設。
解出為正時說明假設的反作用力方向與實際相符，否則實際反作用力方向與假設相反。
3. 應用能量方程求動水壓強時，壓強的標準是相對壓強還是絕對壓強，原則上可任取，但根據經驗，絕大多數問題選取相對壓強較方便。
4. 動量方程中的動量差，應為流出控制體的動量減去流入控制體的動量。
5. 當問題中所需流速和動水壓強均未知時，需要連續方程和能量方程聯解。
（三）解題步驟（重點掌握，應用於計算題或直接作為簡答題考查）
1. 選取控制體。控制體是由兩漸變流斷面切出，並剝去了固體邊界的水體。
2. 繪計算簡圖。在控制體上標明所有作用力方向及流入流出控制體流速的方向。
3. 選取直角座標系。座標軸的正向可以任意選取，原則上以使方程中未知項最少為宜。
4. 應用連續方程和能量方程先求出所需的流速和動水壓強。
5. 應用分量形成的動量方程，求解固體邊界對控制體的作用力，水流對固體邊壁作用力由牛頓第三定律確定。
三、本週課程內容典型例題
（一）選擇題
1、有關恆定總流能量方程的應用條件，下列說法正確的是（ ）。
a．要求液體可壓縮
b．過水斷面在均勻流或漸變流的區段上
c．所有受力只有重力
d．非恆定流
答案：b
（二）判斷題
1、恆定總流能量方程應用中，基準面可任意選取，但必須是水平面。（ ）
答案：正確。
（三）簡答題
1、恆定總流的動量方程是什麼？表示了什麼實際意義？有何應用條件？
答案：（1）動量方程向量形式
（2）恆定總流的動量方程表示在單位時間內，通過控制體表面流出與流入控制體的動量差，等於作用在該控制體上所有外力的向量和。
（3）應用條件
①恆定流；②漸變流；③不可壓縮的均質液體。
（四）計算題
1、如圖所示，用一根直徑的管道從水箱中引水，假設水箱較大，在引水過程中水位保持不變。已知管道的引用流量，管道中的水頭損失，試求：水箱中水位與管道出口斷面中心的高差。
解：以過管道出口斷面中心的水平面0-0為基準面，取水箱水面為1-1斷面，取管道出口斷面為2-2斷面，計算點分別取在水箱水面上和管道出口斷面的中心。現寫1-1和2-2斷面的總流能量方程：
其中，， (採用相對壓強)，，，於是上式變為：
2、如下圖所示一離心水幫浦，已知：抽水流量，安裝高度，吸水管直徑，吸水管中的總水頭損失，試求：水幫浦進口斷面2-2處的真空度。
解：取水池中水面為1-1斷面，並作為基準面0-0，水幫浦進口斷面為2-2斷面，寫兩斷面的總流能量方程：
式中：，，，由於2-2斷面出現負壓真空現象所以採用絕對壓強，於是，最後上式變為：
， 3、有一如下圖所示的溢流壩，當通過的流量為時，壩上游水深壩下游收縮斷面的水深，已知壩長（垂直於紙面方向），試求：水流對壩體的總作用力。
解：取水平向右方向為x軸正向，水流對壩體只有x方向的作用力。取圖中虛線和自由水面線所圍水體為控制體。
在x方向上作用在控制體上的作用力，當忽略空氣和床面與水體的摩擦力時，只有作用在1-1和c-c斷面上的動水壓力和，以及壩對水體的反作用力。於是，對該控制體x方向的動量方程為：
我們認為1-1和c-c斷面處水流符合漸變流條件，因此，動水壓強按靜水壓強規律分布，即：
====
由連續方程求1-1和c-c斷面的斷面平均流速分別為：
將上面各值代入式，因為動水壓力是以kn為單位，所以得：
= 4412.75kn
所求得的為正值,說明我們假設的方向正確。那麼，根據作用力與反作用力大小相等方向相反，則水流作用在壩體上的作用力為4412.75kn，但方向沿x軸正向。
4、在立面圖上有一如下圖所示的彎管段。已知：彎管段入出口的直徑分別為0.
5m和0.25m；折角；管中通過的流量；彎管入口處的相對壓強；彎管段的水重，進出口斷面高程差。試求水流對彎管的作用力。
解：以圖中0-0為基準面，寫進出口斷面的能量方程，則：
=1-1和2-2斷面上作用的動水總壓力分別為：
現在，按圖示座標系統，取1-1和2-2斷面間水體為控制體。作用在控制體上的外力有：1-1和2-2斷面上的動水總壓力、水體的重量和彎管對水體的反作用力。
設彎管對水體的反作用力的x和z方向的分量分別為和。
x方向的動量方程為：
所以得出：
=z方向的動量方程為：
所以得出：
=因為求得的和均為正值，所以假設的反作用力的方向正確。反作用力的合力大小為：
合力與水平方向的夾角為：
最後，水流對彎管的作用力大小為28.29kn，方向與r方向相反。
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