工程力學（二）輔導資料六
主題：第二章第
五、六節彎曲時的應力、變形計算及強度、剛度條件，壓桿穩定問題。
學習時間：2023年11月7日－11月13日
內容：本週我們學習課程的第二章，彎曲時的應力、變形計算及強度、剛度條件，壓桿穩定問題，具體內容如下：
一、學習要求
1、掌握梁的內力圖-剪力圖與彎矩圖
2、掌握剪力、彎矩與載荷集度間的微分關係式
3、掌握疊加法作剪力圖和彎矩圖
4、掌握靜矩和形心的計算方法
5、掌握慣性矩和慣性積的計算方法
6、掌握慣性矩和慣性積的平移軸公式和轉軸公式
7、掌握主慣性軸和主慣性矩
8、了解梁純彎曲時橫截面上的正應力
9、了解純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣
10、了解梁的合理截面形狀
11、了解矩形截面梁的切應力
12、了解工字形梁及其他形狀梁的切應力
13、了解切應力強度條件
二、主要內容
（一）梁的內力圖-剪力圖與彎矩圖
1、剪力與彎矩方程式：剪力和彎矩沿梁軸線方向的變化用方程表示，。
2、剪力圖與彎矩圖：剪力和彎矩沿梁軸線方向的變化用圖形表示。
（二）剪力、彎矩與載荷集度間的微分關係式
圖1；2.1幾何意義
1、剪力圖上某點處的斜率數值上等於荷載圖上該點的分布荷載值。
2、彎矩圖上某點處的斜率數值上等於剪力圖上該點的剪力值。
2.2線型判斷
圖22.3剪力、彎矩與載荷集度間的積分關係式
1、2、
（三）靜矩和形心
3.1基本概念
1、靜矩：面積對軸的一次矩。
2、形心：面積的幾何中心。
3.2公式
1、靜矩：，，符號：正、負。
圖32、形心：由重心的公式得均質物體形心的公式
，，，注意：截面對形心軸的靜矩為零。
（四）慣性矩和慣性積
4.1 基本概念
慣性矩：面積對軸的二次矩。
4.2 公式
1、慣性矩：，
2、極慣性矩：
3、慣性積：
4、慣性半徑：，
圖44.3 性質
1、截面對互相垂直的兩軸的慣性矩之和等於截面對該兩軸交點的極慣性矩。
2、對通過o點的任意兩個互相垂直軸的慣性矩之和相等。即：
3、慣性矩永遠大於零，慣性積可正、負、零。
4、當截面有乙個對稱軸時，截面對包含該軸的一對軸的慣性積為零。
圖55、圓截面的慣性矩和慣性積：，圖6
（五）慣性矩和慣性積的平移軸公式和轉軸公式
5.1 平移軸公式
，，，注意的符號。
圖75.2 組合截面的慣性矩和慣性積
，，5.3 慣性矩和慣性積的轉軸公式，圖8
（六）主慣性軸和主慣性矩
1、主慣性軸：慣性積為零的一對軸。
2、主慣性矩：截面對主慣性軸的矩，主慣性矩為極值。
3、形心主軸：主慣性軸過形心。
4、形心主矩：截面對形心主軸的矩。
（七）梁純彎曲時橫截面上的正應力
7.1 基本概念
純彎曲：即梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，此時橫截面上只有正應力而無切應力。
圖97.2 純彎下梁的變形特徵
圖107.3 平面假設
在純彎曲下樑變形後，橫截面仍保持平面，並與梁軸正交，相鄰橫截面只作相對轉動。
各縱向纖維之間無擠壓或拉伸作用，此假設稱為單向受力假設。
中性層：下部縱向纖維伸長，上部縱向纖維縮短，且沿梁高度連續變化。所以，從伸長區到縮短區，其間必有一層縱向纖維，它既不伸長，也不縮短，這一層稱為中性層。
中性軸：中性層和橫截面的交線。
圖111、幾何方面
圖12距中性層為處的任一縱向「纖維」正應變與成正比。
2、物理方面
各縱向「纖維」均處於單向受力狀態，**彈性材料範圍內，由單向拉壓虎克定律，得出橫截面上距中性軸為的各點處正應力。
圖13橫截面上任一點處的正應力與成正比。中性軸上的正應力為零，最大正應力發生在距中性軸最遠的上下邊緣。
3、靜力學方面
軸力為零
，，得。
表明橫截面面積對z軸的靜矩為零，證明了均勻材料梁的中性軸z必過橫截面的形心c。
圖14內力對y軸之矩為零
，表明截面對y、z軸的慣性積為零，說明y、z軸是一對形心主軸。
圖15內力對之矩組成彎矩m
，令，則。
橫截面上距中性軸距離為處一點的彎曲正應力公式：。
其中，為橫截面對軸的慣性矩；稱為截面抗彎剛度。
彎截面模量： ；
最大正應力公式：。
表中列出了簡單截面的和計算公式。表中，為薄壁圓平均半徑。
表17.4 公式分析
純彎曲正應力公式：
圖16式中是計算之點到中性軸的垂直距離；沿高度線性分布，的方向根據的轉向而定（如截面的彎矩為正，則中性軸以上受壓，以下受拉。相反，如截面的彎矩為負，則中性軸以上受拉，以下受壓）。
純彎曲最大正應力發生在距中性軸最遠處的上下邊緣，中性軸上正應力為零。
（八）純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣
對於細而長的梁（跨高比 ），計算表明：可以將純彎曲理論推廣到橫力彎曲中。此結論將極大地擴充套件了該公式的使用範圍，並確定了它們在工程中的實用價值。
橫力彎曲中的正應力公式為：，此時彎矩為變數。
（九）梁的合理截面形狀
9.1 材料盡可能遠離中性軸
圖179.2 材料對梁截面形狀的影響
1、塑性材料：因為此類材料的梁許用拉應力等於許用壓應力，故宜採用中性軸為對稱軸的截面，如矩形、圓形、工字形等 。
2、脆性材料：脆性材料的梁許用拉應力和許用壓應力不相等，故宜採用對中性軸不對稱的截面，如梯形、t字形、槽形等。
9.3 變截面梁
梁的彎矩不是常量，而是沿軸線變化，顯然等截面梁並不合理，為了充分發揮材料的潛力，減輕重量，常常根據彎矩的變化採用變截面梁。理想的變截面梁是使所有橫截面上的最大彎曲正應力同時達到許用應力，這類梁稱為等強度梁。
（十）矩形截面梁的切應力
10.1 剪應力分布假設
橫截面側邊處的剪應力平行於側邊，並考慮到矩形截面窄而高的幾何特徵，橫截面上的剪應力沿寬度均勻分布，其方向均平行於橫截面的側邊。
圖1810.2 矩形梁對稱彎曲剪應力公式的建立
圖19公式分析：代表橫截面對中性軸的慣性矩，其值為； 代表橫截面上的剪力；代表橫截面的寬度；代表對中性軸的靜矩，為從欲求的剪應力處（即處）沿寬度截斷後的部分橫截面面積。切應力的方向和剪力的方向一致的。
10.3 矩形截面梁的切應力沿截面高度的分布
圖20處的切應力為。
10.4 矩形截面梁的剪應力沿截面高度呈拋物線分布
1、在截面的上下邊緣（）處，；
2、在中性軸（）處，最大，其值為：。
3、矩形截面的最大剪應力是平均剪應力的1.5倍。
（十一）工字形梁及其他形狀梁的切應力
工字形梁：寬翼緣梁腹板部分的切應力處理方法和矩形截面梁相同。
圖21（十二）切應力強度條件
對於寬翼緣梁的腹板和其他短梁（彎矩小而剪力大）以及抗剪能力差的梁（例如木質梁），設計時不僅要考慮正應力強度條件，還要考慮剪應力強度條件：
三、典型習題
（一）繪圖題
1、圖1所示懸臂梁，自由端受集中力p作用，試寫出fs、 m方程式，並畫出fs、 m圖。
圖22解：
（1）取座標原點為a，在距原點為x處用假想截面切開保留左段為研究物件，並設截面上的fs , m為正。
（2）寫fs、 m 方程 ，
（3）畫出fs、 m圖
圖232、用疊加法作圖示梁剪力圖和彎矩圖
圖24圖25
（二）計算題
1、圖示結構b點受垂直荷載p=40kn，cd杆橫截面面積a=8cm2，許用應力[σ]=160mpa試校核cd杆的強度。
圖26 解：
（1）取ab杆考慮，令cd杆拉力為n
（2）校核cd杆：cd杆 mpa <，滿足強度條件。
圖262、實心圓軸直徑d=100mm，其兩端承受方向相反的扭矩==4kn·m，其許用剪應力=60mpa，試校核其剪下強度（實心圓軸抗扭截面模量）。
圖28解：最大切應力
所以mpa<
滿足剪下強度條件。
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