工程力學（二）輔導資料十七
主題：第四章結構動力計算（第6節）
學習時間：2023年1月20日－1月26日
內容： 本週我們將學習結構動力計算中自振頻率的近似計算方法部分的內容，希望通過下面的學習是同學們加深對相關知識的認識和理解。
基本要求與重點：
1. 了解能量法求自振頻率過程；
2. 了解集中質量法求自振頻率過程。
一、能量法求基本頻率
結構在振動中，具有兩種形式的能量，一種是由於具有質量和速度而構成的動能，另一種則是由於結構變形而儲存的應變能。根據能量守恆定律，結構在無阻尼自由振動中的任何時刻，其動能和應變能之和應等於常數，即
常數當結構處於最大振幅位置時，其動能t等於零，而應變能具有最大值。當結構處於靜力平衡位置的瞬間，其動能t具有最大值，而應變能則為零。
據此，有
亦即按能量法計算結構的自振頻率時，利用這一關係式即可得到確定頻率的方程。現以梁的橫向振動為例加以說明。
如下圖所示一簡支梁
具有連續分布質量的單跨樑，以某一頻率作自由振動，其位移可表示為
式中，為各質點的位移幅值。它代表振型，故又稱為振型函式。則其速度表達為
微段質量的動能為
整個梁的動能為
當動能為最大值時，，有
應變能（只考慮彎曲變形能）為
其中，為梁的彎矩。
當應變能為最大值時，，有
由得這就是能量法求自振頻率的計算公式。
如果結構上除分布質量外，還有集中質量，所以表示集中質量i點處相應的振幅，則上式應改為
利用上述公式計算自振頻率時，必須事先知道振型曲線，但實際上往往是不知道的，因此必須先假定一條曲線來進行計算，如果假定的曲線與實際的振型曲線接近，則計算的結果愈精確。在假定振型曲線時，應該使它滿足位移的邊界條件。通常多採用某一靜力荷載作用下的撓度彈性曲線來近似地作為振型曲線。
此時，應變能可以更簡便地用荷載在位移上作的功來代替，即
式中：分布荷載和集中荷載為產生彈性撓度曲線的靜力荷載；為集中力作用點處相應的撓度。
令上式與最大動能相等，即得確定頻率的另一計算公式
計算經驗表明，只要所設振型曲線滿足位移邊界條件，且與真實振型曲線接近，就能得出相當精確的解答。對於單跨梁，通常假設其自重作用下的彈性曲線作為振型曲線。對於其他結構，則首先要判斷基本振型的大致形狀，然後假設一與它接近的曲線方程，這樣算得的頻率也就是對應於基本頻率的近似解。
能量法就是用來計算基本頻率的近似方法。
二、集中質量法求基本頻率
計算無限自由度體系的自振頻率時，可以用若干個集中質量來代替連續分布的質量。關於質量的集中方法有多種，最簡單的是靜力等效的集中質量法。
等效原則是：使集中後的重力與原來的重力互為靜力等效，即二者的合力相等。作法是將杆分為若干段，將每段的質量集中於其質心或集中於兩端。
如圖a所示簡支梁，可分為兩段（圖b）、三段（圖c）或四段（圖d）。圖a
圖b圖c圖d
附：相關習題
判斷題1.結構在無阻尼自由振動和強迫振動中的任何時刻，其動能和應變能之和應等於常數。
【答案】錯
2.當結構處於最大振幅位置時，其動能等於零，而應變能具有最大值。
【答案】對
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