工程力學（一）輔導資料十六
主題：第十八章力法和位移法
學習時間：2023年7月15日－7月21日
內容：本週我們將學習第十八章力法和位移法的相關內容，希望通過下面的學習，使大家能夠掌握如果使用力法和位移法求解結構內力。
一、學習要求
1、掌握力法基本概念；
2、掌握力法典型方程；
3、了解支座位移及溫度改變時超靜定結構計算；
4、掌握超靜定結構位移計算和內力圖校核的方法；
5、掌握利用對稱性求解結構內力；
6、了解超靜定結構的特性；
7、掌握位移法基本概念；
8、掌握位移法基本結構和基本未知量的確定方法；
9、掌握位移法典型方程；
10、了解位移法與力法的聯合應用。
二、主要內容
（一）力法基本概念
基本結構在外因和多餘力共同作用下的體系稱為力法的基本體系。把多餘力作為基本未知量的計算方法就稱為力法。基本體系去掉多餘約束處位移與原結構相同。
位移條件：
力法典型方程：
稱為結構的柔度係數，稱為自由項。它們都代表位移，有兩個下標：第乙個下標表示位移產生的位置，第二個下標表示產生位移的原因。
力法的基本特點是：以多餘力作為基本未知量，去掉多餘約束後的靜定結構為基本結構，並根據基本體系去掉多餘約束處地已知位移條件將多餘力首先求出，其餘的計算即與靜定結構無異。
關鍵：根據位移條件建立力法方程求解多餘力。
（二）力法典型方程
（三）支座位移及溫度改變時超靜定結構計算
1、溫度改變對超靜定結構的影響
計算溫度改變的影響與計算荷載的影響，唯一的區別在於典型方程自由項的計算。
2、支座位移對超靜定結構的影響
計算支座的影響與計算荷載或溫度改變的影響在基本精神和具體方法上都是一致的。唯一的區別在於典型方程中自由項的計算。
（四）超靜定結構位移計算和內力圖校核
1、超靜定結構的位移計算
由於超靜定結構的最後內力並不隨所取基本結構的不同而異，因此，可把最後內力看作是由任意基本結構求得的。這樣，在求超靜定結構的位移時，就可選取虛擬內力圖簡單的基本結構，以使計算簡化。
2、最後內力圖的校核
在得出內力圖之後，需對它加以校核。校核的依據是：最後內力圖應滿足平衡條件和位移條件。
以剛架為例，首先應對最後彎矩圖進行校核。取每一結點為隔離體，其上所受的彎矩應滿足平衡條件：
由於多餘力是根據位移條件求得的，故其計算是否有誤，可通過位移條件的校核來檢查。取基本結構的單位彎矩圖與原結構的最後彎矩圖相乘，得原結構對應與所選虛擬狀態的位移，然後再察看此位移是否與原結構的位移相符。
對應具有封閉框格的框架，最簡便的辦法是利用封閉框格上任一截面的相對角位移為零這一條件來進行彎矩圖的校核。
任何封閉框格的最後彎矩圖的面積除以相應剛度後的代數和應等於零。
剪力圖和軸力圖的校核，一般只按平衡條件進行。可擷取結構的某一部分為隔離體，檢查它是否滿足平衡條件。
（五）對稱性的利用
對稱結構是指具有對稱性的結構，需包括兩個方面：
（1）結構的幾何形狀和支承情況對某一軸線對稱。
（2）桿件截面和材料性質也對此軸對稱。
利用結構的對稱性，可使計算大為簡化。
正對稱的力：
將結構計算簡圖沿對稱軸對折後，力完全重合（作用點對應，數值相等，方向相同）。
反對稱的力：
將結構計算簡圖沿對稱軸對折後，力重合但方向相反（作用點對應，數值相等，方向相反）。
（六）單跨梁在外因作用下的杆端力
1、由杆端位移引起的杆端力
（1）符合規定：
杆端轉角，弦轉角均以順時針方向轉動為正。
杆端彎矩規定對杆端以順時針方向為正。
杆端剪力的正向規定同前。
（2）由荷載引起的杆端力
（3）等截面單跨超靜定梁的轉角位移方程
（4）單跨超靜定梁的形常數和載常數
由支座引起的杆端力是與荷載無關而只與桿件截面尺寸、材料性質有關的常數，一般稱為形常數。由荷載引起的杆端力稱為載常數。
（七）超靜定結構的特性
1、在靜定結構中，除了荷載以外，其它任何因素都不會引起內力。但是在超靜定結構中，則任何因素都可能引起內力。
2、靜定結構的內力只按平衡條件即可確定，其值與結構的材料性質和截面尺寸無關。但是超靜定結構的內力只按平衡條件無法全部確定，必須考慮變形條件才能確定，所以超靜定結構的內力與結構的材料性質和截面尺寸有關。
3、超靜定結構在多餘約束被破壞後，仍能維持幾何不變性，而靜定結構在任一約束被破壞後，即稱為幾何可變體系，喪失承載能力。從抵抗突然破壞的觀點來說，超靜定結構比靜定結構具有較大的防禦能力。
4、超靜定結構由於具有多餘約束，一般地說，其剛度比相應的靜定結構要大些，且內力分布也比較均勻。
（八）位移法基本概念
結構的內力和位移之間，恆具有一定的關係，因此，也可以把結構的某些位移作為基本未知量，首先求出這些位移，然後再據以確定結構的內力。這就是位移法。
位移法的解題步驟：
（1）拆散結構，分析各根桿件，用桿端位移表示杆端力；
（2）各根桿件聯結組成結構，利用變形協調條件和平衡條件，建立求解結點位移的方程。
由單位杆端位移引起的形常數
由跨間荷載引起的載常數
（九）位移法基本結構和基本位置量
位移法的基本結構是單跨超靜定梁的組合體系。
位移法是以獨立的結點角位移和獨立的結點線位移為基本未知量。
確定剛架結構獨立結點線位移數目時，可先將原結構的剛結點改為鉸結點，固定支座改為固定鉸支座，然後對所得鉸結鏈杆體系作幾何組成分析，是幾何可變體系或瞬變體系，則加入附加鏈杆使其成為幾何不變體系，所需附加鏈杆的最少數目，就是原結構獨立結點位移數目。
（十）力法典型方程
（十一）位移法與力法聯合應用
乙個對稱結構，利用其對稱特性，把它分成正、反對稱荷載兩種情況，然後分別採取位移法和力法求解，可使計算大大地簡化。這種方法稱為聯合法。
三、重要考點
（一）填空題
1. 超靜定結構的支座反力和內力求解時必須考慮
答案：平衡條件、幾何條件、物理條件
2. 將超靜定結構中（ ）稱為力法的基本未知量。
答案：多餘約束提供的多餘未知力
（二）判斷題
1. 力法雖然可以求解任何超靜定結構，但是對於超靜定次數較高的結構，由於基本未知量數目大，求解力法典型方程時計算工作量會大大增加。（ ）
答案：正確
2. 位移法是以獨立的結點角位移和獨立的結點線位移為基本未知量。。（ ）
答案：正確
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