工程抗震輔導資料六
主題：第三章結構的**響應與**作用（第4節）
學習時間：2023年11月4日－11月10日
內容：這周我們將學習第三章中的第4節，這部分主要介紹多自由度體系的**反應分析，下面整理出的框架供同學們學習，希望能夠幫助大家更好的學習這部分知識。
一、學習要求
1、熟悉多自由度體系的運動方程；
2、熟練掌握多自由度體系的自由振動；
3、掌握**反應分析的振型分解法。
二、主要內容
（一）多自由度體系的運動方程
1、二自由度體系的運動方程
圖1 二自由度體系的變形
對於上圖1所示的二自由度體系，取質點1為隔離體，並對其進行受力分析，如圖2所示。
圖2 質點1的受力情況
圖中：——質點慣性力，；
——彈性恢復力，；
——阻尼力，；
其中：——使質點1產生單位位移而質點2保持不動，在質點1處所需施加
的水平力，如下圖3所示；
——使質點2產生單位位移而質點1保持不動，在質點1處所需施加
的水平力；
圖3 、示意圖
同理：——使質點1產生單位速度而質點2保持不動，在質點1處產生的阻
尼力；——使質點2產生單位速度而質點1保持不動，在質點1處產生的阻
尼力。因此可知，質點1的平衡方程為：
同理可得，質點2的平衡方程為：
下圖4為常用的二自由度體系簡化圖，對於這類圖形，可按下述公式計算上式中的剛度係數和阻尼係數。
剛度係數：
阻尼係數：
圖4 二自由度體系示意圖
將上述二自由度體系的運動方程以矩陣的形式寫出，則有：
式中：——體系質量矩陣，；
——體系阻尼矩陣，；
——體系剛度矩陣，；
——體系的相對水平位移向量，；
——體系的相對水平速度向量，；
——體系的相對水平加速度向量，；
2、多自由度體系的運動方程
由二自由度體系的運動方程可以類推出多自由度體系的運動方程如下：
式中：；；
；；；（二）多自由度體系的自由振動
1、二自由度體系的自由振動
研究自由振動時，不考慮阻尼的影響，此時體系不受外界作用，可令，則二自由度體系的自由振動方程為：
方程組的解為：
式中：、——為質點1、2的位移幅值。
代入方程得：
因為上式有非零解，則下面的行列式為零。
由上式可以可解出和，（）
其中：——第一自振圓頻率；
——第二自振圓頻率。
2、多自由度體系的自由振動
對於多自由度體系，其自由振動方程為：
假設方程的解為：，則有。其將代入方程，得到：
因為，則要求：
上式實際是原來微分方程形式表達的多自由度體系自由振動方程得代數方程形式，稱之為動力特徵方程。
要得到的非零解，則必須有
上式稱為多自由度體系的動力特徵方程。由於、均為常數矩陣，上式實際上是的代數方程，將有個解。將解由小到大排列，設為。
為體系的乙個自由振動圓頻率。乙個個自由度的體系，有個自振圓頻率，即有種自由振動方式或狀態，稱為體系第階自振圓頻率。
當多自由度體系以某一階圓頻率自由振動時，將有一特定的振幅與之相應，它們之間應滿足動力特徵方程
將反應體系自由振動形狀的向量稱為振型。因為與體系第階自振圓頻率相對應，因此也稱為第階振型。
一般地，體系有多少自由度就有多少個頻率，相應的就有多少個主振型，它們是體系的固有特徵。
圖5 三自由度體系結構各階振型圖
對於常見的三自由度體系，將各階振型用圖形表示，如圖5所示。圖中反應振型具有如下幾個特徵：對於串聯多質點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖上就有幾個節點（振型曲線與體系平衡位置的交點）。
利用振型圖的這一特徵，可以定性判別所得振型正確與否。
3、主振型的正交性
結構在任一瞬時的位移等於慣性力作用下所產生的靜位移。因此，主振型曲線可看作是體系按某一頻率振動時，其上相應的慣性荷載所引起的靜力變形曲線。
同時，根據功的互等定理，我們可以知道第一狀態的力在第二狀態的位移上所做的功等於第二狀態的力在第一狀態的位移上所做的功。
以上圖所示的二自由度體系為例，可以得到：
整理得：
由於，則有：
將二自由度體系所得結果進行推廣，我們可以得到多自由度體系主振型的正交性。
對質量正交：
對剛度正交：
（三）振型分解法
由振型的正交性可知，相互獨立，則體系**位移反應向量可表示成：
將上式代入多自由度體系一般有阻尼運動方程得到，
將上式左乘得到，
上式中的質量矩陣、剛度矩陣的正交性是無條件的，為了使阻尼矩陣具有正交性，假設阻尼矩陣，則阻尼矩陣也具有正交性。
利用主振型的正交性原理，則上式可以簡化為，
即： 式中：；；。
上式與單自由度體系的運動方程相同。可見，原來自由度體系的維聯立運動微分方程，被分解為個獨立的關於正則座標的單自由度體系運動微分方程，各單自由度體系的自振頻率為原多自由度體系的各階頻率，相應為原體系各階阻尼比，而為原體系階振型參與係數。
由杜哈密積分，可得上的解為
其中：是阻尼比為、自振頻率為的單自由度體系的**位移反應。
通過計算，我們可以得到多自由度體系**位移反應的解
其中：因僅與體系的第階自振特性有關，故稱為體系的第階振型**反應。由上式可知，多自由度體系的**反應可通過分解為各階振型**反應求解，故稱為振型分解法。
三、典型習題
（一）計算題
1．計算僅有兩個自由度體系的自由振動頻率。假設
解：根據多自由度體系的動力特徵方程，有
整理得解方程得
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