廣東省潮州市金山中學張榮鵬
贊可夫說過「教會學生思考，對學生來說，是一生中最有價值的本錢」。在教學活動中，為學生創設「創新」的實踐活動，培養學生良好的思維習慣是教育教學工作的重中之重，也是打破傳統教學模式的關鍵所在。其中培養學生發散性思維習慣是實現這一目標的主要方法。
發散性思維，即求異思維，是一種從不同途徑，不同角度去探索多種可能性，探求答案的思維過程。本文從一道三角形題的解法，培養學生發散思維能力。
原題:如圖(1),a、b、c是一直線公路上的三點,bc=2ab=2km，從三點分別觀測一塔p，從a處測得塔在北偏東60°，從b測得塔在正東，c測得塔在東偏南30°。求塔到這條公路的距離。
解法一（運用平面幾何知識解答）:
如圖(1)由bp是∠apc的平分線及角平分線的性質得pc=2pa
過點a作ad⊥pb交pc於d, 垂足為e，則⊿pad是等邊三角形
∴ pa=pd=da 且得 pc=2pd
∴ cd=pd=da ∴ ∠acd=∠dac
∴∠acd=∠dac=∠pda=×60°=30°
∴∠pac=∠pad+∠dac=60°+30°=90°
即pa是p到ac的距離,在⊿pab中
pa=ab·cot∠apb=1·cot30°= (km)
答: 塔到這條公路的距離是km.
解法二（運用餘弦定理解答）:如圖(2)∵∠apb=30,∠bpc=∠dcp =30°
∴ bp是∠apc的平分線 ∴
∵ bc=2ab=2km , ∴ac=3km
設pa=x,則pc=2x
在δpac中,∠apc=60°由餘弦定理得
∴解得設p點到ac的距離為h ,則
解法三（運用正弦定理解答）:如圖(2)設∠pca=,則∠pab= 120°-
在δpac和δpab中,由正弦定理得
得∵是⊿pca的內角, ∴=30°且pb=2
故有∠pac=180°-30°-60°=90°
∴點p到ac的距離為
(km)
解法四（運用向量知識解答）:如圖(1)由bp是∠apc的平分線及角平分線的性質可設
∴故 p點到ac的距離為
解法五（運用解析幾何知識解答）:
如圖(3),以燈塔p為原點o,bp所在直線為x軸建立直角座標系,
設點b的座標為b(m,0)且m<0
∵∠apb=∠bpc=30°故直線pa、pc的方程分別為y=xtan150°和y=xtan30°
即y=－x和y=x
設點c、a的座標分別為
∵=2km ∴
即點b分所成的比由定比分點座標公式
由|ab|=1km 得:
故c、a的座標分別為c(-3,),a
由兩點式方程得直線ac的方程為
由點到直線距離公式得
點p到直線ac的距離為
解法六（運用引數方程知識解答）:
設b點的座標為b(m,0), ∠obc=,則直線ac的引數方程為
t為引數
∵ bc=2km ba=1km
∴取t=-1或t=2時分別得點a、c的座標為
a(m-cos,-sin),c(m +2cos,2sin)
∵∠apb=∠bpc=30°由三角函式定義得
∴ ∠pac=-∠apb=120°-30°=90°
即pa是p到ac的距離.在⊿pab中
pa=ab·cot∠apb=1·cot30°= (km)
數學習題蘊含的數學關係存在著多樣性與複雜性,運用不同的數學知識進行解決，可使同一問題往往會有多種不同的解法。在解題教學中，教師要從不同的階段出發，引導學生多途徑地探索解題方法，培養學生思維的發散性,以促進思維的發展,使學生善於從不同的解題方案中，領會到運用不同知識解決同一問題的樂趣，從而選擇出合理的最優的解題方法，達到提高學生的綜合素質。
二00七年七月
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