數學創造性思維的培養
作者何永潔單位桂平市麻垌中學
摘要數學思維是對數學物件（空間形式、數量關係、結構關係等）的本質屬性和內部規律的間接反映，並按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。數學思維能力主要包括四個方面的內容：1．會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；2．會用歸納、演繹和模擬進行推理；3．會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；4．能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關係，形成良好的思維品質。
新課標關注的是數學課程目標，它包括：數學素養、數學知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度，注重學生經驗、學科知識和社會發展三方面內容的整合，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。
那麼，在數學課堂教學中應當如何貫徹教學大綱的思想，更加有效地培養學生的數學思維能力呢？以下我們談談看法。
一、數學概括能力的培養
數學教學中，應當強調數學的「過程」與「結果」的平衡，要讓學生經歷數學結論的獲得過程，而不是只注意數學活動的結果。這裡，「經歷數學結論的獲得過程」的含義是什麼呢？我們認為，其實質是要讓學生有機會通過自己的概括活動，去**和發現數學的規律。
概括是思維的基礎。學習和研究數學，能否獲得正確的抽象結論，完全取決於概括的過程和概括的水平。數學的概括是乙個從具體向抽象、初級向高階發展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。
隨著概括水平的提高，學生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發展。數學教學中，教師應根據學生思維發展水平和概念的發展過程，及時向學生提出高一級的概括任務，以逐步發展學生的概括能力。
在數學概念、原理的教學中，教師應創設教學情境，為學生提供具有典型性的、數量適當的具體材料，並要給學生的概括活動提供適當的台階，做好恰當的鋪墊，以引導學生猜想、發現並歸納出抽象結論。這裡，教師鋪設的台階是否適當，主要看它是否能讓學生處於一種「似懂非懂」、「似會非會」、「半生不熟」的狀態。猜想實際上是在新舊知識相互作用的過程中，學生對新知識的嘗試性掌握。
教師設計教學情境時，首先，應當在分析新舊知識間的本質聯絡與區別的基礎上，緊密圍繞揭示知識間本質聯絡這個目的，安排猜想過程，促使學生發現內在規律；其次，應當分析學生已有數學認知結構與新知識之間的關係，並確定同化（順應）模式，從而確定猜想的主要內容；再次，要盡量設計多種啟發路線，在關鍵步驟上放手讓學生猜想，使學生的思維真正經歷概括過程。
概括的過程具有螺旋上公升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結論後，教師應當引導學生把概括的結論具體化。這是乙個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。
在這個過程中，學生的認知結構與新結論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激。
在概括過程中，要重視變式訓練的作用，通過變式，使學生達到對新知識認識的全面性；還要重視反思、系統化的作用，通過反思，引導學生回顧數學結論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數學原理、通性通法的認識；通過系統化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯絡，並概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入。
數學的表現方式是形式化的邏輯體系，數學理論的最後確立依賴於根據假定進行抽象概括的能力。因此，教師應當引導學生學會形式抽象，實際上這是乙個高層次的概括過程，在這個過程中，學生的邏輯推理能力可以得到很好的培養。
二、學生數學思維受阻的原因
根據個人經驗，參考有關資料，我認為學生思維受阻的主要原因有以下幾點：
1．數學思想方法缺乏。
由於學習方法的缺乏而嚴重制約學生的有效思維的狀況普遍存在。華東師大二附中的四位學生對高一學生的調查表明，在常用的數學思想方法中，初中學生掌握得最好的是方程思想，知道並會應用的佔84.02%，觀察與試驗的方法、模擬與聯想的方法知道並會運用的分別佔25.
68%和24.52%，不知道的分別佔42.02%和34.
44%。重點中學的學生如此，一般學校可想而知。我部本學期在初
三、初四年級開設的「學法講座」深受學生歡迎。
2．學習目標確定不當。
比如，乙份調查顯示，學生對於自己「在初中階段數學學習的要求」選擇「名列前茅」的佔79.18%，選擇「中等水平」的佔17.45%。
而對自己在高中階段選擇「名列前茅」的佔45.46%，選擇「中等水平」的佔47.05%。
許多學生考上高中後，便想喘口氣，放鬆一下學習節奏。在高一學生中，回答「你對學習的感覺」時，感到困難的佔52%，一部分學生選擇了降低要求的方法，認為自己目前的數學學習狀態「良好」的僅佔24.06%，認為「一般」的佔57.
44%，認為「較差」的佔18.5%。學習要求的降低，影響了學習效果，使得數學思維發展的速度無法加快。
3．思維惰性造成思維模糊。
乙份在「遇到難題的處理方式」的調查中，選擇「等老師講解」的佔12%，選擇「問同學或問老師」的佔52%，選擇「繼續思考」的只有16%，選擇「等以後再解決」的佔20%。思維指向模糊主要表現在對關鍵資訊感知把握不准，思維指向性模糊，出思維的惰性。觀察只停滯在感知表象中，即使撞上關鍵資訊，也不能加工形成有價值的反饋資訊，致使思路受阻，從而懶於動腦，久而久之，養成了思維的惰性。
這是學生思維障礙的最普遍原因。
4．思維慣性造成思維機械。
思維的慣性常伴隨著思維的惰性而存在。乙份問卷調查資料中，有30%的同學在回答「解題時出現錯誤的原因」選擇了「審題不清」這一項。學生在解數學題時，常尚未看清題意，見術語，便羅列公式，生搬硬套；見資料，便代入演算，拼湊解答等。
5．思維線性造成思維中斷。
在乙份問卷調查中，回答「經常出現思維的方向性錯誤」的學生佔了50%，他們由於思維的單一性，呈線性狀態，導致思維過程常常中斷而受阻。
6．各學段的銜接不當。
主要表現在三個方面：（1）節奏變化。就一節課的知識容量而言，初中遠比不上高中，因而在講解中就有快慢和粗細之分。
這一快一慢，一粗一細兩對矛盾就很容易將初中與高中阻隔，產生兩極分化，使初高中難以得到系統的響應，從而影響學生數學思維的發展。華東師大二附中的調查：認為高中數學學習節奏比初中快的佔82.
17%，而覺得慢的同學僅佔5.5%。（2）教學方法的差異。
有48.07%的學生認為初中數學課大部分由老師講解，小部分由學生練習，認為初中重視學生討論與自學的僅佔9.2%。
這表明初中學生討論與自學的這一學習方法並沒有得到充分的培養，沒有發揮學生的主觀能動性。在高中，認為上課大部分由老師講解的降低到27.34%，認為討論與練習相當的則公升至37.
84%。（3）教材因素導致初高中數學知識點脫節。華東師大二附中的調查中，有49.
63%的市、區重點中學的學生認為「對所需的初中知識感到略能運用，但還有些困難」，而感到需要補充初中知識點的佔20.53%，對所需初中知識能運用自如的不到30%。
7．評價機制本身的不完善或評價機制貫徹的不完全。
主要表現在三個方面：（1）不考的不學。華東師大二附中學生的調查表明，初中數學教師對「中考不考，可以省略」的態度中，偶爾說的佔50.
57%，經常說的佔21.18%。（2）評價方式單一。
無論對老師還是學生，往往都是以學科考試成績作為主要指標進行評價。（3）考試導向的偏差。我認為用考試的方法進行評價本身並沒錯，問題是考試（命題）本身的導向是否正確。
三、如何培養學生的數學創造性思維能力
1．找準數學思維能力培養的突破口。
心理學家認為，培養學生的數學思維品質是培養和發展數學能力的突破口。思維品質包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創造性，它們反映了思維的不同方面的特徵，因此在教學過程中應該有不同的培養手段。
思維的深刻性既是數學的性質決定了數學教學既要以學生為基礎，又要培養學生的思維深刻性。數學思維的深刻性品質的差異集中體現了學生數學能力的差異，教學中培養學生數學思維的深刻性，實際上就是培養學生的數學能力。數學教學中應當教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。
數學思維的敏捷性主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質、抽象程度越高，其適應的範圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。
另外，運算速度不僅僅是對數學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。因此，數學教學中，應當時刻向學生提出速度方面的要求，使學生掌握速算的要領。
為了培養學生的思維靈活性，應當增強數學教學的變化性，為學生提供思維的廣泛聯想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，並迅速地建立起自己的思路，真正做到「舉一反三」。教學實踐表明，變式教學對於培養學生思維的靈活性有很大作用。如在概念教學中，使學生用等值語言敘述概念；數學公式教學中，要求學生掌握公式的各種變形等，都有利於培養思維的靈活性。
創造性思維品質的培養，首先應當使學生融會貫通地學習知識，養成獨立思考的習慣。在獨立思考的基礎上，還要啟發學生積極思考，使學生多思善問。能夠提出高質量的問題是創新的開始。
數學教學中應當鼓勵學生提出不同看法，並引導學生積極思考和自我鑑別。新的課程標準和教材為我們培養學生的創造性思維開闢了廣闊的空間。
批判性思維品質的培養，可以把重點放在引導學生檢查和調節自己的思維活動過程上。要引導學生剖析自己發現和解決問題的過程；學習中運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法；學習中走過哪些彎路，犯過哪些錯誤，原因何在。
2．教會學生思維的方法
現代教育觀點認為，數學教學是數學活動的教學，即思維活動的教學。如何在數學教學中培養學生的思維能力，養成良好思維品質是教學改革的乙個重要課題。孔子說：
「學而不思則罔，思而不學則殆」。在數學學習中要使學生思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利於培養學生的正確思維方式。要學生善於思維，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有紮實的雙基，思維能力是得不到提高的。
數學概念、定理是推理論證和運算的基礎。在教學過程中要提高學生觀察分析、由表及裡、由此及彼的認識能力；在例題課中要把解（證）題思路的發現過程作為重要的教學環節，僅要學生知道該怎樣做，還要讓學生知道為什麼要這樣做，是什麼促使你這樣做，這樣想的；在數學練習中，要認真審題，細緻觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會運用綜合法和分析法，並在解（證）題過程中盡量要學會用數學語言、數學符號進行表達。
此外，還應加強分析、綜合、模擬等方法的訓練，提高學生的邏輯思維能力；加強逆向應用公式和逆向思考的訓練，提高逆向思維能力；通過解題錯、漏的剖析，提高辨識思維能力；通過一題多解（證）的訓練，提高發散思維能力等。
3．善於調動學生內在的思維能力
一要培養興趣，讓學生迸發思維。教師要精心設計，使每節課形象、生動，並有意創造動人情境，設定誘人懸念，激發學生思維的火花和求知的慾望，還要經常指導學生運用已學的數學知識和方法解釋自己所熟悉的實際問題。
如何培養學生創造性思維
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如何培養創造性思維
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