一、二次函式與平行四邊形綜合
【例1】 已知：如圖，在平面直角座標系中，直線與x軸、軸的交點分別為，將對折，使點的對應點落在直線上，摺痕交軸於點
（1）直接寫出點的座標，並求過三點的拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為，在直線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的座標；若不存在，說明理由；
（3）設拋物線的對稱軸與直線的交點為為線段上一點，直接寫出的取值範圍.
【例2】 如圖，點是座標原點，點是軸上一動點.以為一邊作矩形，點在第二象限，且．矩形繞點逆時針旋轉得矩形．過點的直線交軸於點，．拋物線過點、、且和直線交於點，過點作軸，垂足為點．
⑴ 求的值；
⑵ 點位置改變時，的面積和矩形的面積的比值是否改變？說明你的理由．
【例3】 如圖1，中，，，點**段上運動，點、分別**段、上，且使得四邊形是矩形．設的長為，矩形的面積為，已知是的函式，其圖象是過點的拋物線的一部分（如圖2所示）．
（1）求的長；
（2）當為何值時，矩形的面積最大，並求出最大值．為了解決這個問題，孔明和研究性學習小組的同學作了如下討論：
張明：圖2中的拋物線過點在圖1中表示什麼呢？
李明：因為拋物線上的點是表示圖1中的長與矩形面積的對應關係，那麼表示當時，的長與矩形面積的對應關係.
趙明：對，我知道縱座標36是什麼意思了！
孔明：哦，這樣就可以算出，這個問題就可以解決了.
請根據上述對話，幫他們解答這個問題.
【例4】 如圖，在矩形中，已知、兩點的座標分別為，為的中點．設點是平分線上的乙個動點（不與點重合）．
（1）試證明：無論點運動到何處，總與相等；
（2）當點運動到與點的距離最小時，試確定過三點的拋物線的解析式；
（3）設點是（2）中所確定拋物線的頂點，當點運動到何處時，的周長最小？求出此時點的座標和的周長；
（4）設點是矩形的對稱中心，是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的座標．
【例5】 如圖，已知拋物線：的圖象與軸相交於兩點，是拋物線上的動點(不與重合)，拋物線與關於軸對稱，以為對角線的平行四邊形的第四個頂點為．
（1）求的解析式；
（2）求證：點一定在上；
（3）平行四邊形能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積（若只有乙個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；如果不能為矩形，請說明理由．（注：計算結果不取近似值．）
【例6】 如圖，已知拋物線與座標軸的交點依次是，，．
（1）求拋物線關於原點對稱的拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交於，兩點(點在點的左側)，頂點為，四邊形的面積為．若點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與點重合為止．求出四邊形的面積與運動時間之間的關係式，並寫出自變數的取值範圍；
（3）當為何值時，四邊形的面積有最大值，並求出此最大值；
（4）在運動過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時的值；若不能，說明理由．
【例7】 如圖，在直角座標系中，點為函式在第一象限內的圖象上的任一點，點的座標為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸、直線於，鏈結交軸於，直線交軸於．
⑴ 求證：點為線段的中點；
⑵ 求證：四邊形為菱形；
⑶ 除點外，直線與拋物線有無其它公共點？若有，求出其它公共點的座標；若沒有，請說明理由．
【例8】 如圖，在平面直角座標系內，以軸為對稱軸的拋物線經過直線與軸的交點和點．
（1）求這條拋物線所對應的二次函式的關係式；
（2）將（1）中所求拋物線沿軸平移．
①在題目所給的圖中畫出沿軸平移後經過原點的拋物線大致圖象；
②設沿軸平移後經過原點的拋物線對稱軸與直線相交於點．判斷以為圓心，為半徑的圓與直線的位置關係，並說明理由；
（3）點是沿軸平移後經過原點的拋物線對稱軸上的點。求點的座標，使得以四點為頂點的四邊形是平行四邊形．
【例9】 如圖所示，在平面直角座標系中，矩形的邊在軸的負半軸上，邊在軸的正半軸上，且，，矩形繞點按順時針方向旋轉後得到矩形．點的對應點為點，點的對應點為點，點的對應點為點，拋物線過點．
（1）判斷點是否在軸上，並說明理由；
（2）求拋物線的函式表示式；
（3）在軸的上方是否存在點，點，使以點為頂點的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點在拋物線上，若存在，請求出點，點的座標；若不存在，請說明理由．
【例10】 如圖，點是座標原點，點是軸上一動點.以為一邊作矩形，點在第二象限，且．矩形繞點逆時針旋轉得矩形．過點的直線交軸於點，．拋物線過點、、且和直線交於點，過點作軸，垂足為點．
⑴ 求的值；
⑵ 點位置改變時，的面積和矩形的面積的比值是否改變？說明你的理由．
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