第七章常微分方程與差分方程
常微分方程是高等數學中理論性和應用性都較強的一部分，是描述客觀規律的一種重要方法，是處理物理、力學、幾何等應用問題的乙個重要工具，微分和積分的知識是研究微分方程的基礎。微分方程作為考試的重點內容，每年研究生考試均會考到。特別是微分方程的應用問題，既是重點，也是難點，在複習時必須有所突破。
【數學一大綱內容】常微分方程的基本概念；變數可分離的方程；齊次方程；一階線性方程；伯努利（bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變數代換求解的某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階常係數齊次線性微分方程；高於二階的某些常係數齊次線性微分方程；簡單的二階常係數非齊次線性微分方程；尤拉（euler）方程；微分方程的簡單應用。
【數學二大綱內容】常微分方程的基本概念；變數可分離的方程；齊次方程；一階線性微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階常數齊次線性微分方程；高於二階的某些常係數齊次線性微分方程；簡單的二階常係數非齊次線性微分方程；微分方程的一些簡單應用。
【大綱要求】要理解微分方程的有關概念，如階、解、通解、特解、定解條件等，掌握幾類方程的解法：如變數可分離方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質和解的結構，掌握求解常係數齊次線性方程的方法，掌握求解某些自由項的常係數非齊次線性方程的待定係數法。
了解尤拉方程的概念，會求簡單的尤拉方程。會用微分方程處理物理、力學、幾何中的簡單問題。
【考點分析】本章包括三個重點內容：
1．常見的一階、二階微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判斷方程為哪種型別，並記住解法的推導過程。
2．微分方程的應用問題，這是乙個難點，也是重點。利用微分方程解決實際問題時，若是幾何問題，要根據問題的幾何特性建立微分方程。若是物理問題，要根據某些物理定律建立微分方程，也有些問題要利用微元法建立微分方程。
3．數學三要求掌握一階常係數線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會用差分方程求解簡單的經濟應用問題。
【考點八十三】形如的一階微分方程稱為變數可分離微分方程。可分離變數的微分方程的解題程式：
當，然後左、右兩端積分
上式即為變數可分離微分方程的通解。其中，c為任意常數，的乙個原函式，表示函式的乙個原函式.
【例7.1】微分方程的通解為
【詳解】，.
兩邊積分得， 即 ，
，，c為任意常數。
【例7.2】微分方程，當時，的特解為
【詳解】分離變數得 ，.
積分得，，
，即.令，則， ∴所求特解為.
【例7.3】若連續函式滿足關係式，則
等於（a）（b）（c）（d）
【詳解】對所給關係式兩邊關於求導，得，且有初始條件. 於是，，，積分得
，故令應選（b）。
【例7.4】已知曲線處的切線斜率為則.
【詳解】
將【例7.5】乙個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積s成正比，比例常數。假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？
【詳解】半徑為的球體體積為，表面積為，而雪堆為半球體狀，故設雪堆在時刻的底面半徑為r，於是雪堆在時刻的體積，側面積。其中體積，半徑與側面積s均為時間的函式。
由題意，有. 。
即，，又時，,，即.
而，即 .
，。當雪堆全部融化時，
令，得（小時）。
【例7.6】在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的，設該人群的總人數為，在時刻已掌握新技術的人數為，在任意時刻已掌握新技術的人數為（將視為連續可微變數），其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例係數，求。
【詳解】首先要根據題中所給條件，建立的微分方程。由於題中條件很明確，即：的變化率與成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。
由已知得 , 分離變數，得.
積分得即
, .
, 又 ∴代入得，
故 。
【考點八十四】形如的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令，則，代入得.分離變數，得。兩端積分，得，求出積分後，將換成，即得齊次方程的通解。
【例7.7】求初值問題的解。
【詳解】
故此方程為齊次方程，其解法是固定的。
令，故，積分得
代入，得
即，由已知，代入得
， ∴所求初值問題的解為 ，化簡得.
【例7.8】設函式在上連續。若由曲線，直線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體體積為試求所滿足的微分方程，並求該微分方程滿足條件的解。
【詳解】由旋轉體體積計算公式得於是，依題意得
.兩邊對t求導得
將上式改寫為 ，即
令，則有
當時，由. 兩邊積分得.
從而方程的通解為為任意常數）。
由已知條件，求得從而所求的解為
或【例7.9】求微分方程的通解.
【詳解】將微分方程進行恒等變形，化為設，有
，則.積分得【考點八十五】1. 形如的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程，其通解公式為： .
【評注】由於一階微分方程的通解只包含乙個任意常數c,因此通解公式中的積分，只表示其中乙個任意的原函式，不含任意常數c。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導公式的方法求解。
3. 通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程等價於即
兩邊積分得
即【例7.10】微分方程滿足的解為
【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式：
，再由初始條件確定任意常數即可.
【詳解】 原方程等價為 ，
於是通解為
=，由得c=0，故所求解為
【評注】 本題雖屬基本題型，但在用相關公式時應注意先化為標準型. 另外，本題也可如下求解：原方程可化為
，即 ，兩邊積分得
，再代入初始條件即可得所求解為
【例7.11】設求此微分方程滿足條件的特解。
【詳解】先求,是方程的解，代入方程得解出
，即這是一階線性非齊次微分方程，而：
對應地，
又由，得，即，
。【例7.12】設為連續函式，（1）求初值問題
的解，其中是正常數；（2）若（為常數）。
證明：當時，有
【詳解】原方程的通解為
由於在本題中未給出函式的具體表示式，在上式中想利用初始條件來確定常數c很困難。而通解中的式子實為的乙個原函式，因此改寫為，於是通解為。
令，由，得即.故所求的解是。
（2）由題設及知，
當時，【例7.13】設有微分方程，其中
試求在內的連續函式，使之在和內都滿足所給方程，且滿足條件。
【詳解】線性方程中的非齊次項有間斷點。在點處無定義，且為的第一類間斷點中的跳躍間斷點。當及時均可求出方程的解，二者相等。又因為是連續函式，故，從而可以確定中的任意常數，得到解。
∵當時方程為，其通解是
。將初始條件代入通解中，得到
∴得特解 .又當時方程為，
即，，兩端積分得 ，
即.因為是連續函式，所以有
，.故當時，特解為。
補充在處的函式值，則得到在上的連續函式，即所求解為 .
【例7.14】設f(x)=f(x)g(x), 其中函式f(x),g(x)在內滿足以下條件：，，且f(0)=0,
(1) 求f(x)所滿足的一階微分方程；
(2) 求出f(x)的表示式.
【分析】 f(x)所滿足的微分方程自然應含有其導函式，提示應先對f(x)求導，並將其餘部分轉化為用f(x)表示，匯出相應的微分方程，然後再求解相應的微分方程.
【詳解】 (1) 由
=2-2f(x),
可見f(x)所滿足的一階微分方程為
(2)將f(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得c=-1.於是
【例7.15】f (u , v)具有連續偏導數，且滿足.
求所滿足的一階微分方程，並求其通解.
【分析】本題綜合了復合函式求偏導數與微分方程。先求，利用已知關係，可得到關於y的一階微分方程.
【詳解】因為
， 所以，所求的一階微分方程為.
解得(c為任意常數).
【例7.16】設函式f(u)具有二階連續導數，而z=f(exsiny)滿足方程。
【詳解】
代入原方程，得。特徵方程為，特徵根為
r=1,-1, 故
【例7.17】設f(x)是可微函式且對任何x,y
恒有又，求f(x)所滿足的一階微分方程，並求f(x)
【詳解】 令x=y=0,得f(0)=2f(0)， 故f(0)=0。
在方程兩邊對y求偏導數，有
。令y=0，得。於是求f(x)，歸法為求解下列初值問題：
解得 = 。
由f(0)=0，得c=0，故。
【例7.18】求的通解。
【詳解】化為標準型：，
對比公式：，通解為
得新公式：，通解為
而本題：,，
,∴通解為，
即【例7.19】設連續，求解方程.
【詳解】因為原方程中，均可導，故可導。對方程兩邊同時求導，將積分方程轉化為微分方程：
，即.根據一階線性微分方程通解公式，得
又, ∴當時， .
代入得 .
【例7.20】設函式在區間上連續，且滿足方程，，且，求。
【詳解】當時，由已知條件 ，
即. 兩邊對求導得
, 即.
這是一階線性微分方程，代入通解公式，得
.令，得，故。
【例7.21】過點且滿足關係式的曲線方程為.
【詳解】方程化為
設於是通解由【例7.22】求微分方程，使得由曲線軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周的旋轉體體積最小。
【詳解】題設方程可化為利用求解公式，得通解
旋轉體體積
由解得由於故為惟一極小值點，也是最小值點，於是得
【考點八十六】可降階的高階微分方程：
1.大綱要求：會用降階法解下列高階微分方程：
；缺）；
缺）。2．方程：直接求次積分，即可求解。
3．方程：這類方程的特點是不顯含未知函式。
令，則化為關於的一階微分方程，然後再用解一階微分方程的解法解之。
4．方程：這類方程的特點是不顯含自變數。
計算方法 常微分方程的差分方法實驗
實驗三常微分方程的差分方法實驗 一.實驗目的 1 深入理解常微分方程的差分方法的原理，學會用差分方法解決某些實際的常微分方程問題，比較這些方法解題的不同之處。2 熟悉matlab程式設計環境，利用matlab實現具體的常微分方程。二.實驗要求 用matlab軟體實現尤拉方法 改進的尤拉方法 龍格 庫...
第七章微分方程經典例題
例7 有高為1公尺的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘公尺.開始時容器內盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器裡水面的高度 水面與孔口中心間的距離 隨時間的變化規律.解由力學知識得，水從孔口流出的流量為 流量係數孔口截面面積重力加速度 設在微小的時間間隔水面的高度由降至則 比較 和...
第六章微分方程習題詳解
習題六答案詳解 三 1 1 分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 2分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 3 分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 4 分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 5 分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 微分方程的特解 6 分離變數 兩邊積分 微分方程的通解 微分方程的特解 7微分...