二維導熱物體溫度場的數值模擬
學院：化工學院
姓名：沈佳磊
學號：2110307016
班級：裝備11
一、物理問題
有乙個用磚砌成的長方形截面的冷空氣空道，其截面尺寸如下圖所示，假設在垂直於紙面方向上冷空氣及磚牆的溫度變化很小，可以近似地予以忽略。
在下列兩種情況下試計算：
（1）磚牆橫截面上的溫度分布；
（2） 垂直於紙面方向的每公尺長度上通過磚牆的導熱量。外矩形長為3.0m，寬為2.2m；內矩形長為2.0m，寬為1.2m。
第一種情況：內外壁分別均勻地維持在0℃及30℃；
第二種情況：內外表面均為第三類邊界條件，且已知：
外壁：30℃ ，h1=10w/m2·℃,
內壁：10℃ ，h2= 4 w/m2·℃
磚牆的導熱係數λ=0.53 w/m·℃
由於對稱性，僅研究1/4部分即可。
二、數學描寫
對於二維穩態導熱問題，描寫物體溫度分布的微分方程為拉普拉斯方程
這是描寫實驗情景的控制方程。
三、方程離散
用一系列與座標軸平行的網格線把求解區域劃分成許多子區域，以網格線的交點作為確定溫度值的空間位置，即節點。每乙個節點都可以看成是以它為中心的乙個小區域的代表。由於對稱性，僅研究1/4部分即可。
依照實驗時得點劃分網格。
建立節點物理量的代數方程
對於內部節點，由x=y，有
由於本實驗為恆壁溫，不涉及對流，故內角點，邊界點代數方程與該式相同。
設立迭代初場，求解代數方程組
圖中，除邊界上各節點溫度為已知且不變外，其餘各節點均需建立類似3中的離散方程，構成乙個封閉的代數方程組。以t=0°c為場的初始溫度，代入方程組迭代，直至相鄰兩次內外傳熱值之差小於0.01，認為已達到迭代收斂。
四、程式設計及結果
program main
implicit none
real ,dimension(1:16,1:12)::t
real ,dimension(1:16,1:12)::t1
real q,q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9,q10,q11,a
integer m,n,z
logical::converged=.false.
z=1t=0
a=0.53
do n=1,12
t(1,n)=30
end do
do m=2,16
t(m,12)=30
end do
do n=1,7
t(6,n)=0
end do
do m=7,16
t(m,7)=0
end do
do while(.<10000)
t1=t
do m=2,5
do n=1,11
if( n==1 )then
t(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+2*t(m,n+1))
else
t(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+t(m,n-1)+t(m,n+1))
end if
end do
end do
do n=8,11
do m=6,16
if (m==16) then
t(m,n)=0.25*(t(m,n-1)+t(m,n+1)+2*t(m-1,n))
else
t(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+t(m,n-1)+t(m,n+1))
end if
end do
end do
z=z+1
do m=1,16
do n=1,12
if(abs(t(m,n)-t1(m,n))>0.000001) then
converged=.false.
exit
else
converged=.true.
end if
end do
end do
end do
write(*,'(16f5.1)',advance='no')((t(m,n),m=1,16),n=12,7,-1)
write(*,*)
write(*,'(6f5.1)',advance='no')((t(m,n),m=1,6),n=6,1,-1)
do n=2,11
q1=(t(1,n)-t(2,n))*a+q1
end do
do m=2,15
q2=(t(m,12)-t(m,11))*a+q2
end do
q3=(t(1,1)-t(2,1))*a*0.5
q4=(t(16,12)-t(16,11))*a*0.5
q10=q1+q2+q3+q4
write(*,*)
do n=2,6
q5=(t(5,n)-t(6,n))*a+q5
end do
do m=7,15
q6=(t(m,8)-t(m,7))*a+q6
end do
q7=(t(5,1)-t(6,1))*a*0.5
q8=(t(16,8)-t(16,7))*a*0.5
q9=(t(5,7)-t(6,7))*a*2
q11=q5+q6+q7+q8+q9
q=(q10+q11)*0.5*4
print*,"外表面導量=",q10,"內表面導熱量",q11,"每公尺高磚牆導熱量",q
end結果截圖：
5、結果討論
將以上結果用matlab畫圖工具繪製出如下影象：
將上述結果與實驗結果對比，結論基本一致。
通過本次數值模擬實驗，進一步熟悉了二維穩態導熱物體溫度場的分布特點，對用數值模擬方法求解傳熱學問題的過程有了更加深刻、直觀的認識，並體會到了數值模擬在求解物理問題上的方便性，也熟悉了相關軟體的基本使用方法。
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