微分運算元法
微分運算元法分類小結
1、n階微分方程
1、二階微分方程： +p(x) +q(x)y=f(x)
2、n階微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)
2、微分運算元法
1、定義符號：，d表示求導，如dx3=3x2，dny表示y對x求導n次；表示積分，如x=2 , x表示對x 積分n次，不要常數。
2、計算
將n階微分方程改寫成下式：
dny+a1dn-1y+a2dn-2y+a3dn-3y+ ... +an-1dy+any=f(x)
即 （dn+a1dn-1+a2dn-2+a3dn-3+ ... +an-1d+an）y=f(x)
記f(d)=dn+a1dn-1+a2dn-2+a3dn-3+ ... +an-1d+an
規定特解：y*=
3、的性質
(1)性質一： ekx =ekx (f(k) 不等於0）
注：若k為特徵方程的m重根時，有
ekx = xmekx = xmekx
2)性質二： ekx v(x)= ekxv(x)
(3)性質三：特解形如sin(ax)和 cos(ax)
i.考察該式（該種形式萬能解法）： eiax
利用性質一和二解出結果，並取相應的虛部和實部作為原方程的特解
注：尤拉公式 eiax= cos(ax)+isin(ax)
虛數 i2 = -1
ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也可按以下方法考慮：
若f(-a2) 0，則
sin(ax)= sin(ax)
cos(ax)= cos(ax)
若f(-a2)= 0 ，則按i.進行求解，或者設-a2為f(-a2的m重根，則
sin(ax)=xmsin(ax)
cos(ax)=xmcos(ax)
(4)性質四（多項式）：
xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
= q(d)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
注：q(d)為商式，按d的公升冪排列，且d的最高次冪為p 。
(5)性質五（分解因式）:
(6)性質六:
=三、例題練習
例1. +4y=ex
則(d2+4)y=ex ,特解y*=ex=ex=ex (性質一)
例2、 y(4)+y=2cos(3x），則(d4+1)y= 2cos(3x）
特解y*=2cos(3x）= 2cos(3x）
2cos(3x）=cos(3x）(性質三)
例3、-4+4y= x2e2x ,則(d2-4d+4)y= x2e2x
特解y*=x2e2x = e2xx2
e2xx2 = x4e2x （性質二）
例4、-3+3- y=ex ,則(d3-3d2+3d-1)y=ex
特解y*=ex =ex1
ex1=x3ex (性質二）
例5、-y=sinx ,則(d3-1)y=sinx ,特解y*=sinx
考察eix
eix= eix=eix=eix
cosx+isinx)
cosx+sinx)+i (cosx-sinx)
取虛部為特解y*= (cosx-sinx) (性質
一、三)
例6、+y=cosx ，則(d2+1)y=cosx ，特解y*=cosx
考察eix
eix= eix=eix
eix=eix1
xeix=xsinx-ixcosx
取實部為特解y*=xsinx (性質
一、二、三）
例7、-y=ex ，則(d4-1)y= ex
特解y*=ex=ex
ex ex =ex
ex 1=xex （性質
一、二、五）
例8、 +y=x2-x+2 , 則(d2+1)y= x2-x+2
特解y*= (x2-x+2)
1-d2)(x2-x+2)=x2-x (性質四)
例9、+2+2y=x2e-x ,則(d2+2d+2)y=x2e-x
特解y*=x2e-x=e-xx2
e-xx2=e-x(1-d2)x2=e-x(x2-2)
（性質二、四）
例10、+y=xcosx ，則(d2+1)y=xcosx ，
特解y*=xcosx ，考察xeix
xeix=xeix=eixx
eixx=eixx
eixx =eixx
cosx+isinx) x
xcosx+x2sinx)+i (xsinx-x2cosx)
取實部為特解y*= (xcosx+x2sinx) (性質
二、三、四）
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