數學與應用數學專業04級鄭維堅
請證明兩者的
等價性這對實數系
來說，當然
是這樣。但
前三條都與
實數系的「序」有關，而柯西列卻與「序」無關，所以完備性不叫連續性
一、 實數理論的引入
實數理論的引入是具有其歷史必然性的。儘管牛頓、萊布尼茲早在十七世紀時便建立了微積分的演算體系，但這套微積分的概念與演算，是以直觀的基礎的，概念並不準確，推導公式有明顯的邏輯矛盾。直至19世紀，矛盾已積累到非解決不可的程度，於是在這種形勢下，實數理論作為極限理論的堅實基礎被引入了，並使微積分的演算體系嚴格化。
（以上內容參考了《數學分析簡明教程》）
二、 實數系各種性質的等價表述概論
經過這幾個月來的學習，我對實數理論有了一些自己的體會。我認為，對實數系中與實數有關的各種性質（如實數連續性、完備性、實數閉區間的緊緻性，連通性等）的描述，無外乎有兩種方式：一種是用集合的觀點來闡述，如戴德金分劃，非空有上界的實數子集有上確界、有限覆蓋定理、區間套定理及聚點定理，另一種是用序列的觀點來描述，如有理數基本列的等價類，單調上公升有上界的序列有極限，緊緻性定理以及柯西收斂原理。
1、實數的連續性
對於數系的連續性戴德金是這樣定義的：如果乙個有大小順序的稠密的數系s，它的任乙個分劃都有s中唯一的數存在，它不小於下類中的每乙個數，也不大於上類中的每乙個數，那麼稱數系s是連續的。
以上的定義是通過集合（即下類與上類）來表述的，不過我覺得也能按照康托的思路用序列的方式加以定義，即對於乙個有大小順序的稠密數系s，若所有（有理數）基本列的等價類與s中的所有數一一對應，則稱s是連續的。
言歸正傳，實數連續性是極限理論的基礎，微積分正是在實數系這樣乙個連續的數系中才有了大顯身手的舞台。
關於實數連續性的等價描述共有三種：
(1) 對於實數系的每乙個分劃a∣b，存在唯一的實數r，使得對任意a∈a，b∈b,有a≤r≤b
(2) 非空有上界的實數子集必有上確界存在。
(3) 單調上公升有上界的實數列必有極限存在。
[我認為其實柯西收斂原理也反映了實數連續性，而且如果我先前補充的定義可行的話，則康托對實數的定義「每乙個（有理數）基本列的等價類都代表乙個實數」也可視為實數連續性的一種描述，不過它是建立在另一種定義之上的]
下面談談我對這三個等價描述的理解：
（1）很直觀的描述了實數連續性。
（2）（3）的表述則較為「含蓄」一些，
其實（2）與（3）描述實數連續性的思路是一樣的，即表明實數繫在數軸上的任何地方都沒有空隙，二者所不同的只是（2）從集合的角度來描述，而（3）從序列的角度來表述。
課本中已證明了（1）（2），（1）（3）及（2）（3），現在證明（3）（2）。
設m為實數子集e的上界，來證明r = supe∈r。若有e最大值，則此最大值即為上確界。若e無最大值，任取x0e，將[x0，m]二等分，若右半區間含有e中的點，則記右半區間為[a1, b1],否則就記左半區間為[a1,b1]。
然後將[a1,b1]再二等分，用同樣的方法選出[a2,b2]，如此無限分下去，我們便得到乙個閉區間的集合，同時得到兩串序列，，其中單調上公升有上界（如b1）, 單調下降有下界（如a1），且bn – an = ( b1 –a1 ) / 2n 0(n∞時）。由單調上公升有上界知有r存在，
使得r = an , 又bn= an + ( b1 – a1 ) / 2n 知
對任意r∈[an , bn] (對任意n) ，又由於單調上公升，r = an ≥an . 若存在k∈n , e中有一點x1∈[r, bk],則按二等分法的規則，ak > r , 這與r≥an(對任意n) 相矛盾。所以e中任何一點x ≤ r.
又由an= r知對任意ε，存在 n， ∣an–r∣<εan > r–ε.這也就是說存在x2∈e， x2 ≥ an > r–ε.於是就證明了r 是e的上確界。
2、 實數閉區間的緊緻性
緊緻性是點集拓撲中的概念，它是用來描述一類集合的，在rk中，集合e是緊緻的 e是閉且有界的 e的每個無限子集在e內有極限點。實數閉區間是r中既閉且有界的集合，因此實數閉區間具有緊緻性，這是實數開區間所不具備的乙個性質。
（以上關於緊緻性的介紹參考了rudin的《數學分析原理》）
對於實數閉區間的緊緻性，我們也可以從集合與序列的角度分別加以描述。
(1) 緊緻性定理是從序列的角度來描述實數閉區間緊緻性的，下面用緊致性定理證明單調上公升有上界的實數列有極限。
設單調上公升有上界，由緊致性定理，存在收斂子串行,設a = xnk
∵單調上公升，為其子序列
∴對任意 n > n1 , k, s. t. xnk ≤xn ≤ xnk+1
∵n → ∞ 時 k → ∞
∴由夾逼性定理知 xn存在且等於a
(2) 區間套定理與有限覆蓋定理是從集合的角度來描述實數閉區間緊緻性的。
我個人覺得這兩個定理是作為一對矛盾而對立統一地存在的，理由如下：①有限覆蓋定理中描述緊緻性的工具是開區間，而區間套定理描述緊緻性的工具是閉區間。閉區間與開區間本身便是一對矛盾，對立而統一的。
②有限覆蓋定理說的是有限個小的開區間覆蓋住乙個大的閉區間，其功能在於把每一點的區域性性質轉化到整個閉區間上，這即是由區域性到整體的思想；而區間套定理說的是乙個大區間裡套乙個小區間，小區間裡再套乙個小小區間，如此下去，最後套出乙個點來，其功能是由點集的整體性質得出某一點的區域性性質，這即是由整體到區域性的思想。
從以上兩點來看，有限覆蓋定理與區間套定理是非常辯證地聯絡在一起的。
儘管這兩個定理歸根到底都是運用集合的語言闡述閉區間的緊緻性（這正是它們的「統一」之所在），但在實際應用時，我們卻可通過它們相互「對立」的方面來判斷對於乙個命題證明用哪乙個定理更方便。
1。 對於那些由整體到區域性的命題常常適合用區間套定理來證明。如確界定理、單調有界原理、柯西收斂原理的充分性、緊緻性定理、聚點原理都屬於這一型別，它們都指出，在某一條件下，作為整體的實數閉區間中有某種「點」存在（這種「點」包括確界點，極限點，收斂點以及聚點）
下面舉幾個例子
1 用區間套定理證明非空有界的實數子集必有上確界：
證明證明過程與本文先前用單調有界原理證明確界定理的過程大致相同，只是當構造出區間套時，直接由區間套定理得出存在r∈[an,bn] (對任意n )，且 an= bn= r
② 用區間套定理證明單調有界原理
可用①的方法構造區間套並由區間套定理得出an= r對任意ε，存在n, ∣an–r∣<εan > r–ε 存在n0, xn0≥ an> r–ε r–xn0<ε.又∵單調上公升∴對任意ε，存在n0，當n.>n0時（xn>x n0）有r–xn<ε∣r–xn∣<ε於是xn = r
(對於證明對任意n , xn ≤ r ，可參見本文先前用單調有界原理證明確界定理的過程)
2。 a、對於那些由區域性到整體的命題常常適合用有限覆蓋定理直接證明，即構造乙個與欲證結論有關的覆蓋，利用覆蓋的有限性來證明命題。例如：
①用有限覆蓋定理證明一致連續性定理（證明過程見《數學分析簡明教程》p305）
一致連續性定理將每乙個點的區域性性質推廣到函式在整個閉區間上的整體性質。因此適合用有限覆蓋定理直接證明。子覆蓋的有限性在證明過程中的作用在於表明了δ=min中的n是有限的，所以集合是有最小值的，即δ是存在的。
②設f(x)在[a,b]上定義，且在每一點處函式的極限存在，求證f(x)在[a,b]上有界。
該命題也是由函式在點的區域性性質推及到其在閉區間上的整體性質，所以適宜用有限覆蓋定理直接證明。
證：由函式極限的區域性有界性，對任意 x0∈[a,b]，存在 mx0>0，δx0>0， ∣f (x)∣≤ mx0 (x∈(x0―δx0 , x0 +δx0))
設e = ，則e是[a, b]的乙個覆蓋，則此時存在[a,b]的乙個有限覆蓋：
eα =
設∣f (x)∣≤ mxi , x ∈(xi―δxi , xi +δxi）(i = 1,2,…,n)
記m = max,則有∣f (x)∣≤m,x∈(xi―δxi , xi +δxi)(對任意i)。注意到eα 構成[a,b]的乙個有限覆蓋，故
∣f (x)∣≤ m（x∈[a,b]）
b、對於那些由整體到區域性的命題常常適合用(運用了有限覆蓋定理的)反證法來證明，即構造乙個與欲證結論有關的覆蓋，然後再通過子覆蓋的有限性來推出矛盾結果。（因為用反證法時，這些由整體到區域性的命題又顛倒過來，變成由區域性到整體以至推出矛盾，因此還是適合用有限覆蓋定理）
下面舉兩個例子，
①用有限覆蓋定理證明聚點定理。（聚點定理是由點集的整體性質得出某一點的區域性性質）
證： 設s為直線上的有界無限點集，於是存在a,b使s[a,b]
用反證法，假設[a,b]中任何點都不是s的聚點，則對每一點x∈[a,b]存在相應的δx>0，使得u(x, δx)內至多包括s的有限多個點，令h = 則h是[a,b]的乙個開覆蓋，由有限覆蓋定理，h中存在有限個鄰域 u(x1, δx1),… ,u(xn, δxn)，它們構成了[a,b]的有限覆蓋，從而也
覆蓋了s，由於每個鄰域至多含有s的有限個點，故這n個領域的並集也至多只含s的有限個點，於是s
有點自己的
體會，不錯！
集也至多
只為有限點集，這與題設s為無限點集矛盾，故得證。
（此命命題證明參考了裴禮文《數學分析典型問題與方法》）
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