不等式、線性規劃
a組(30分鐘)
一、選擇題
1.已知y>x>0,且x+y=1,那麼( )
<<<2xy<<2xy<2.函式f(x)=則不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
a.c.
3.設0為( )
>m>>p>n
>n>>m>n
4.(2013·淮北模擬)「x>0」是「x+≥2」的( )
a.充分不必要條件 b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
5.(2013·新課標全國卷ⅱ)設x,y滿足約束條件則z=2x-3y的最小值是( )
a.-7b.-6c.-5d.-3
6.函式y=ax-1(a>0,a≠1)的圖象恆過定點a,若點a在直線mx+ny-1=0上,其中mn>0,則+的最小值為( )
a.2b.3c.3+2 d.6
7.在座標平面內,不等式組所表示的平面區域的面積為( )
a.24bcd.2
8.(2013·重慶模擬)設x,y均為正實數,且+=1,則xy的最小值為 ( )
a.4b.4c.9d.16
9.設x,y滿足約束條件若目標函式z=ax+by(a>0,b>0)的最小值為2,則ab的最大值為( )
a.1bcd.
10.定義max=設實數x,y滿足約束條件且z=max,則z的取值範圍為( )
a.[-6,0b.[-7,10]
c.[-6,8d.[-7,8]
二、填空題
11.(2013·北京高考)設d為不等式組表示的平面區域,區域d上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為 .
12.(2013·上海模擬)若對於任意的x>0,不等式≤a恆成立,則實數a的取值範圍為 .
13.下列命題正確的序號為 .
①函式y=ln(3-x)的定義域為(-∞,3];
②定義在[a,b]上的偶函式f(x)=x2+(a+5)x+b的最小值為5;
③若命題p:對x∈r,都有x2-x+2≥0,則命題p:x0∈r,有-x0+2<0;
④若a>0,b>0,a+b=4,則+的最小值為1.
14.已知t是正實數,如果不等式組表示的區域內存在乙個半徑為1的圓,則t的最小值為 .
b組(30分鐘)
一、選擇題
1.如果a,b,c,d是任意實數,則( )
>b,c=dac>bd
>b3,ab>0<
c.>a>b
>b2,ab>0<
2.直線ax+by+c=0的某一側的點p(m,n),滿足am+bn+c<0,則當a>0,b<0時,該點位於該直線的( )
a.右上方b.右下方
c.左下方d.左上方
3.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營,據市場分析每輛客車運營的總利潤y(單位:10萬元)與運營年數x的函式關係為y=-(x-6)2+11(x∈n*),則要使每輛客車運營的年平均利潤最大,每輛客車的運營年限為( )
a.3年b.4年c.5年d.6年
4.若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0所截得的弦長為4,則+的最小值為( )
abc.2d.4
5.(2013·哈爾濱模擬)「m≥3」是「關於x,y的不等式組表示的平面區域為三角形」的( )
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
6.若對任意正數x,均有a2<1+x,則實數a的取值範圍是( )
a.[-1,1b.(-1,1)
cd.(-,)
7.已知實數x,y滿足如果目標函式z=x-y最小值的取值範圍是[-2,-1],則目標函式最大值的取值範圍是( )
a.[1,2] b.[3,6] c.[5,8] d.[7,10]
8.已知lo(x+y+4)a.(-∞,10b.(-∞,10)
c.[10d.(10,+∞)
9.(2013·山東高考)設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,x+2y-z的最大值為( )
a.0 b. c.2 d.
10.(2013·四川高考)若變數x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則a-b的值是( )
a.48b.30c.24d.16
二、填空題
11.若x+1>0,則x+的最小值為 .
12.(2013·安徽高考)若非負變數x,y滿足約束條件則x+y的最大值為 .
13.若不等式x2+ax+4≥0對一切x∈(0,1]恆成立,則a的取值範圍是 .
14.在約束條件下,當3≤s≤5時,目標函式z=3x+2y的最大值的變化範圍是 .
答案解析
a組1.【解析】選d.因為y>x>0,且x+y=1,取特殊值:x=,y=,則=,2xy=,所以x<2xy<2.【解析】選c.不等式轉化為
或解得-1≤x≤-1或x<-1.
綜上知x≤-1,故選c.
【方法總結】與分段函式有關的不等式的求解方法
首先按照分段函式的分類標準去掉「f」號,轉化為兩個不等式組,然後分別解不等式組,最後取並集得原不等式的解集.
3.【解析】選d.由於0loga(a2+1)>loga(a+1),即p>m>n.
4.【解析】選c.當x>0時,x+≥2=2.
因為x+≥2,所以≥0,故≥0,所以x>0.
所以x>0是x+≥2成立的充要條件,選c.
5.【解析】選b.由z=2x-3y得3y=2x-z,即y=x-.作出可行域如圖,
平移直線y=x-,由圖象可知當直線y=x-經過點b時,直線y=x-的截距最大,此時z取得最小值,由得即b(3,4),代入直線z=2x-3y,得z=2×3-3×4=-6,選b.
【方法總結】解決線性規劃問題的一般步驟
(1)確定線性約束條件.
(2)確定線性目標函式.
(3)畫出可行域.
(4)利用線性目標函式(直線)求出最優解.
(5)據實際問題的需要,適當調整最優解(如整數解等).
6.【解析】選c.由已知得定點a的座標為(1,1),
由點a在直線mx+ny-1=0上,
所以m+n-1=0,即m+n=1,
又mn>0,所以m>0,n>0,
所以+=(m+n)=2+++1≥3+2·=3+2,
當且僅當n=-1,m=2-時取等號.故選c.
7.【解析】選b.不等式組表示的平面區域如圖中的△abc,由y=x+1,y=2x-1得點b的橫座標為2,由y=-2x-1,y=x+1得點c的橫座標為-.
所以s△abc=|ad|(|xc|+|xb|)=×2×=.
8.【解析】選d.由+=1得
12+3(x+y)=4+2(x+y)+xy,
即x+y=xy-8.
因為x+y≥2,
所以xy-8≥2,
即xy-2-8≥0,
所以≤-2或≥4.
因為x,y均為正實數,
所以≥4即xy≥16,
當且僅當x=y時取等號.
9.【解題提示】先由目標函式z=ax+by(a>0,b>0)得出何時取最小值,然後由基本不等式求解.
【解析】選d.由z=ax+by得y=-x+,可知斜率為-<0,作出可行域如圖,由圖象可知當直線y=-x+經過點d時,直線y=-x+的截距最小,此時z最小為2.
由得即d(2,3),代入直線ax+by=2得2a+3b=2.又2=2a+3b≥2,所以ab≤,當且僅當2a=3b=1,即a=,b=時取等號,所以ab的最大值為,選d.
2019屆高三數學專題複習教案 不等式
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