《計數原理與概率統計（理）》第一輪複習建議 2011.12.2
一、《考試說明》的考試內容與要求層次及變化比較
（一）考試內容與要求層次
（二）新舊考試說明的比較（新課程與舊大綱的考試說明）
1. 舊說明中，「排列、組合、二項式定理」，新說明中，「計數原理」；
2. 舊「分類計數原理、分步計數原理」（c），改為「分類加法計數原理、分步乘法計數原理」（b）↓，新說明增加了「用分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題」（c）；
3. 刪除了組合數的兩個性質（c），增加了「用排列與組合解決一些簡單的實際問題」（c）；
4. 舊「二項式定理」（c）、「二項展開式的性質」（c），改為「用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題」（b）；↓
5. 舊說明中：「概率與統計」，新說明中分開說明「統計」與「概率」；
6. 舊「互斥事件有乙個發生的概率」（b），改為「兩個互斥事件的概率加法公式」（c）；↑
7. 舊「獨立事件同時發生的概率」（b），改為「事件的獨立性」（a）；↓
8. 舊「獨立重複試驗」（b），改為「次獨立重複試驗與二項分布」（b）；→
9. 舊「離散型隨機變數及其分布列」（b），改為「取有限值的離散型隨機變數及其分布列」（c）；↑
10. 新說明中增加了「隨機事件的運算（b）、幾何概型（b）、條件概率（a）、超幾何分布（a）」；
11. 舊「抽樣方法」（b），改為「簡單隨機抽樣（b）；分層抽樣和系統抽樣（a）」；↓
12. 舊「總體分布的估計」（b），改為（c）；↑
13. 新說明中增加了「用樣本估計總體」，具體內容見接下來的14~16條；
14. 新說明中增加了「頻率分布表，直方圖、折線圖、莖葉圖（b）」；
15. 新說明中增加了「樣本資料的基本的數字特徵（如平均數、標準差）（b）」；
16. 新說明中增加了「用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數字特徵估計總體的基本數字特徵（c）」；↑
17. 舊「線性回歸」（a），改為「線性回歸方程」（b）；↑
18. 舊中統計的「正態分佈」在新說明中歸於「概率」．
二、知識內容與結構
（一）知識與教材對應
知識內容涉及教材有：必修3第二章《統計》、第三章《概率》；選修2－3第一章《計數原理》、第二章《概率》；對選修2－3第三章《統計案例》沒作要求．
（二）各板塊知識結構
三、近年考試情況分析
（一）近三年高考試題
例1. （09北京理6）若為有理數），則（ ）
a．45b．55c．70d．80
【答案】c
（09北京文3）若為有理數），則（ ）
a．33b． 29c．23d．19
【答案】b
例2. （09北京理7）用0到9這10個數字，可以組成沒有重複數字的三位偶數的個數為（ ）
a．324b．328 c．360d．648
【答案】b
（09北京文5）用數字1，2，3，4，5組成的無重複數字的四位偶數的個數為（ ）
a．8b．24c．48d．120
【答案】c
例3. （09北京理17）（本小題共13分）
某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.
（ⅰ）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率
（ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.
（09北京文ⅱ）這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率.
【解析】本題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率知識、考查離散型隨機變數的分布列和期望等基礎知識，考查運用概率與統計知識解決實際問題的能力.
例4. （10北京理4）8名學生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為（ ）
（abc） （d）
【答案】a
例5. （10北京文3）從中隨機選取乙個數為a，從中隨機選取乙個數為b，則b>a的概率是（ ）
（a） (b) （cd)
【答案】d
例6. （10北京理11文12）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘公尺）資料繪製成頻率分布直方圖（如圖）．由圖中資料可知a若要從身高在[120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140 ，150]內的學生中選取的人數應為
【答案】a=0.030，3人.
例7. (10北京理17)(本小題共13分)
某同學參加3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為，第
二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為， (＞)，且不同課程是否取得優秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為
(ⅰ)求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率；
(ⅱ)求，的值；
(ⅲ)求數學期望ξ.
【解析】本題考查了概率的性質與概率計算，以及數學期望的計算．
例8. （11北京理12）用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有個．（用數字作答）
【答案】14
例9. （11北京理17）本小題共13分
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹．乙組記錄中有乙個資料模糊，無法確認，在圖中以x表示．
（ⅰ）如果x=8，求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；
（ⅱ）如果x=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹y的分布列和數學期望．
（注：方差，其中為，，……的平均數）
（11北京文ⅱ）如果x=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率.
【解析】本題考查莖葉圖，平均數，方差，分布列，期望等知識及概率計算．
（二）考點分布分析
1. 計數原理一般考查小題，考查的內容是排列組合計數問題或二項式定理；統計概率部分一般考查一道大題，再輔以0~2題的小題．09年文理各一道大題；10年文兩道小題，理科一大一小；11年文理各一道大題．小題以考查統計知識（如抽樣方法、頻率分布直方圖、統計特徵量、莖葉圖等）和古典概型的概率計算為主，大題仍以互斥事件的概率加法公式、離散型隨機變數（取值限於有限個）的分布列與期望為重點，11年將莖葉圖與統計特徵量和概率的計算結合起來考查，實現了統計與概率的綜合．
2. 統計案例（獨立性檢驗、回歸分析）不列入考試範圍，幾何概型、條件概率、超幾何分布、線性回歸、正態分佈、隨機數的含義與意義（蒙特卡羅方法）較少考查，甚至可能基本不會考查，二項分布也較少考查．統計側重於統計圖表、統計思想（用樣本估計總體）和統計特徵量的意義的考查，概率側重於古典概型概率計算及離散型隨機變數的概率分布與期望的考查，計數原理側重於計數原理與二項式定理．
3. 新的動向：把統計和概率結合在一起考查，往往先是對統計圖表（頻率分布直方圖、莖葉圖等）的基本考查，然後用樣本的頻率估計總體的概率，再往離散型隨機變數的概率分布方向考查．
四、對新課標的思考
1. 關於內容的增刪．
本部分新增加要求的內容：幾何概型（b），條件概率（a），超幾何分布（a），用樣本估計總體（頻率分布表，直方圖、折線圖、莖葉圖b；樣本資料的基本的數字特徵（如平均數、標準差）b；用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數字特徵估計總體的基本數字特徵c）； 刪減的內容：幾何分布．
2. 統計與概率的意義是什麼？
統計是研究如何合理收集、整理、分析資料的學科，它可以為人們制定決策提供依據．概率是研究隨機現象規律的學科，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎．
3. 為什麼要不講排列組合而先講概率？
在以前的大綱版教材中，都是先講排列組合再講概率，而新課程則在必修3中直接講概率，排列組合知識則安排在選修2－3第一章，並在第二章安排離散型隨機變數的概率分布．新課程這樣安排的主要目的就是防止繁雜的排列組合計數問題干擾了學生對概率的認識，避免以概率計算代替概率意義的理解，因而教材中選擇了一些簡單例子（一般列舉出來的所有結果只有幾種、十幾種）為載體，讓學生體會並理解概率的意義．
4. 為什麼刪減幾何分布而增加超幾何分布？
按說學生對幾何分布的理解和掌握比超幾何分布的理解和掌握更容易，但新課程標準對分布列加了限制「理解取有限值的離散型隨機變數及其分布列的概念」，要求「通過例項，理解取有限值的離散型隨機變數均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變數的均值、方差，並能解決一些實際問題」．從這種意義上說，幾何分布中隨機變數的取值有無限多個，而超幾何分布屬於有限多個．
5. 考試內容的思考．
本部分內容要求層次為c的有：用分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題、排列數公式、組合數公式、用排列與組合解決一些簡單的實際問題、取有限值的離散型隨機變數及其分布列、用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數字特徵估計總體的基本數字特徵．
要求層次為a的有：隨機事件的概率、超幾何分布、條件概率、事件的獨立性、正態分佈、分層抽樣和系統抽樣．
由此可見，考查的重點還在於計數原理、排列組合、二項式定理、取有限值的離散型隨機變數及其分布列與期望方差，抽樣方法側重於簡單隨機抽樣；而超幾何分布、條件概率、正態分佈、幾何概型、線性回歸、隨機數的含義與意義等內容則基本不會考查（在複習建議中還有一定的分析）．
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