第四講轉化與化歸思想
一、選擇題
1．(2012·大綱全國)△abc中，ab邊的高為cd，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則
a. a－b
b. a－b
c. a－b
d. a－b
2．在等比數列中，a1＝a，前n項和為sn，若數列成等差數列，則sn等於( )
a．an＋1－a
b．n(a＋1)
c．na
d．(a＋1)n－1
3．函式f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函式，則f(x)在區間(－5，－3)上
a．先減後增b．先增後減
c．單調遞減d．單調遞增
4．已知數列對任意的p，q∈n*滿足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那麼a10等於 ( )
a．－165b．－33
c．－30d．－21
5．若α、β∈，且αsin α－βsin β>0，則下面結論正確的是
ab．α＋β＞0
cd．α2＞β2
6．已知o＝(cos θ1,2sin θ1)，o＝(cos θ2,2sin θ2)，若o′＝(cos θ1，sin θ1)，o′＝(cos θ2，sin θ2)，且滿足o′·o′＝0，則s△oab等於
ab．1
c．2d．4
7．稜長為a的正方體中，鏈結相鄰面的中心，以這些線段為稜的八面體的體積為 ( )
ab.cd.
8．p為雙曲線－＝1的右支上一點，m、n分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點，則|pm|－|pn|的最大值為
a．6b．7
c．8d．9
二、填空題
9．在平面直角座標系xoy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數c的取值範圍是________．
10．在rt△abc中，c＝，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，r，s分別表示它的內切圓半徑和面積，則的取值範圍是
11．如果函式f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那麼f(2)，f(1)，f(4)的大小關係是________．
12．設f(x)是定義在r上的單調增函式，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)對任意a∈[－1,1]恆成立，則x的取值範圍為______．
三、解答題
13．(2012·廣東)設數列的前n項和為sn，滿足2sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈n*，且a1，a2＋5，a3成等差數列．
(1)求a1的值；
(2)求數列的通項公式；
(3)證明：對一切正整數n，有＋＋…＋<.
14．(2012·福建)已知函式f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈r.
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行於x軸，求函式f(x)的單調區間；
(2)試確定a的取值範圍，使得曲線y＝f(x)上存在唯一的點p，曲線在該點處的切線與曲線只有乙個公共點p.
答案1．d 2．c 3．d 4．c 5．d 6．b 7．c 8．d
9．(－13,13)
10．[2－2,1)
11．f(2)12．x≤－1或x≥0
13．(1)解 ∵a1，a2＋5，a3成等差數列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.
又2sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴2s1＝a2－22＋1,2s2＝a3－23＋1，
∴2a1＝a2－3,2(a1＋a2)＝a3－7.
由得∴a1＝1.
(2)解 ∵2sn＝an＋1－2n＋1＋1，①
∴當n≥2時，2sn－1＝an－2n＋1.②
①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，
∴an＋1＝3an＋2n.
兩邊同除以2n＋1得＝·＋，
∴＋1＝.
又由(1)知＋1＝，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，
∴＋1＝·n－1＝n，
∴an＝3n－2n，
即數列的通項公式為an＝3n－2n.
(3)證明 ∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n
＝c·1n·20＋c·1n－1·21＋c·1n－2·22＋…＋c·10·2n－2n
＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n>1＋2n＋2(n2－n)
＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)，
∴＝<＝·，
∴＋＋…＋
<1＋＝1＋＝1＋＝－<，
即＋＋…＋<.
14．解 (1)由於f′(x)＝ex＋2ax－e，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.
此時f′(x)＝ex－e.由f′(x)＝0得x＝1.
當x∈(－∞，1)時，有f′(x)<0；
當x∈(1，＋∞)時，有f′(x)>0.
所以f(x)的單調遞減區間為(－∞，1)，
單調遞增區間為(1，＋∞)．
(2)設點p(x0，f(x0))，曲線y＝f(x)在點p處的切線方程為y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，
令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，
故曲線y＝f(x)在點p處的切線與曲線只有乙個公共點p等價於函式g(x)有唯一零點．
因為g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．
①若a≥0，當x>x0時，g′(x)>0，
則當x>x0時，g(x)>g(x0)＝0；
當xg(x0)＝0.
故g(x)只有唯一零點x＝x0.
由p的任意性知，a≥0不合題意．
②若a<0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，
則h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.
令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，記x*＝ln(－2a)，
則當x∈(－∞，x*)時，h′(x)<0，
從而h(x)在(－∞，x*)內單調遞減；
當x∈(x*，＋∞)時，h′(x)>0，
從而h(x)在(x*，＋∞)內單調遞增．
a．若x0＝x*，當x∈(－∞，x*)時，
g′(x)＝h(x)>h(x*)＝0；
當x∈(x*，＋∞)時，g′(x)＝h(x)>h(x*)＝0.
所以g(x)在r上單調遞增．所以函式g(x)在r上有且只有乙個零點x＝x*.
b．若x0>x*，由於h(x)在(x*，＋∞)內單調遞增，且h(x0)＝0，
則當x∈(x*，x0)時有g′(x)＝h(x)g(x)>g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)>0.
又當x∈(－∞，x1)時，
易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．
由於a<0，則必存在x2所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)內存在零點，
即g(x)在r上至少有兩個零點．
c．若x0，
可證函式g(x)在r上至少有兩個零點．
綜上所述，當a<0時，曲線y＝f(x)上存在唯一的點p(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，
曲線在該點處的切線與曲線只有乙個公共點p.
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