化歸與轉化的思想方法是中學數學中的重要思想方法之一，也是高考數學中重點考查的思想方法.化歸與轉化的思想就是將複雜或陌生、新穎的數學問題、數學資訊和數學情景轉化為簡單或已知的數學知識和成熟的經驗方法，從而解決問題的策略.
化歸與轉化的思想,遵循以下五項基本原則: (1)化繁為簡的原則. (2)化生為熟的的原則.
(3)等價性原則. (4)正難反則易即逆向思維原則.當問題從正面解決困難時,可以轉化為問題的逆否命題或考慮反證法.
(5)形象具體化原則.將抽象的數學資訊轉化為可以觀察,或者能夠定性研究的具體問題.
下面通過一些具體例子說明化歸與轉化思想中主要的一些方法.
1.用構造法實現化歸與轉化
例1 已知那麼（ ）
分析：已知不等式兩邊都含有兩個變數，而學生目前只學習一元函式，為此先把不等式化為，使它的兩邊都只含有乙個變數，於是可以構造輔助函式，通過建構函式,把不等式問題化歸為函式單調性問題.
解：把原不等式化為，即.設因為函式均為上的增函式,所以是上的增函式. 不等式即, ,故選.
2.轉換變數實現化歸與轉化
例2設,若在上變化時,恆取正值,求的取值範圍.
分析:本題中,如果把看作的函式,則該題就是乙個有限制條件的定義域問題,解法較為複雜.由於在上變化,所以如果轉換思維角度,把看作的函式,則就是關於的一次函式或常數函式.
原命題的陳述方式變為:關於的函式，當自變數在上變化時，恆大於零，求字母的取值範圍.從而有以下簡捷解法.
解:設則為一次函式或常數函式.當時,恆成立,則即,解得或或,所以的取值範圍是
3.用換元法實現化歸與轉化
例3已知求函式最小值.
分析:把函式展開後,可以觀察到該函式是關於的三角函式式,因此可以把看作乙個量,把該函式式轉化為乙個二次函式在給定區間上的最值問題.
解:設,則而所以
（1）若時，當（2）若時，在上單調遞減，（3）若，在上單調遞增，.
4．用數形結合實現化歸與轉化
例4 已知不等式的解集中只有三個整數解,求實數的取值範圍.
分析:如果本題從不等式的角度去考慮,將比較繁瑣.如果畫出函式的大致
影象（如圖1所示）,從影象上可以看到,要使不等式成立,必須
,而且滿足的影象在軸的右邊,由此看到，解集中三個整數解分別為，而不再是不等式的解，從而由函式值的大小關係，解得實數的取值範圍. 通過數形結合,把求不等式中字母的問題,化歸為兩個二次函式在幾個關鍵值的大小問題
解:在同一座標系中畫出（）的大致影象影象,如圖所示.從圖中看到,要使不等式的解集中只有三個整數解,那麼這三個解只能是.所以即解得這就是實數的取值範圍.
5.用分離變數法實現化歸與轉化
例5 若不等式對一切成立,則的最小值為
分析:要求的最小值,需要求出的取值範圍.若通過討論一元二次不等式在給定區間上恆成立，可能較繁瑣.
若把字母單獨分離出來,放於不等式的一邊,則另一邊是關於的函式關係式.通過求函式式的值域或範圍,可以求得字母的取值範圍.
解:因為,所以可以把不等式化為:.設, .因為在時單調遞減,所以.要使不等式對一切成立,則,所以的最小值為.
6.用特殊化法實現化歸與轉化
例6 已知|點在內,且.設,則( )
解析：本題若按通常解法，需要根據向量所給出的平面幾何關係，把兩邊平方後，得到關係式，從中求出,比較繁瑣.現在如果把特殊化,如取則.由得,所以,則,由此判斷選擇支錯誤,故正確.
7.用導數實現化歸與轉化
例7 已知函式，
（i）令，求函式在處的切線方程；
（ⅱ）若在上單調遞增，求的取值範圍.
分析:本題是乙個非基本初等函式在某點處切線和單調性的問題.在（i）中,把代入函式的解析式後,再求函式的導數,得在處的切線斜率,最後寫出方程.
在（ⅱ）中,先求函式的導函式,再令在上恆成立,求得的取值範圍. 通過導數的幾何意義,把非基本初等函式的切線和單調性問題,化歸為求導函式值和不等式恆成立問題,這是導數的重要貢獻之一.
解:（i）由
切線的斜率切點座標（2，5+）， 所求切線方程為,即
（ⅱ）若函式為上單調增函式，
則在上恆成立，即不等式在上恆成立
也即在上恆成立.令上述問題等價於
而為在上的減函式， 則於是為所求.
8.用定義、公式、定理、圖形和已知結論等實現化歸與轉化
例8已知數列的前項和,求數列的通項.
分析:數列的前項和已知,根據前項和定義得,當時, ,把數列的前項和問題轉化為數列的通項問題. 這是最常見和應用最廣泛的解題方法,它蘊含著最直接的化歸與轉化的思想.
解:因為,所以當時, ,
又當時, ,所以.
9.利用命題的否定或反證法實現化歸與轉化
例9 已知下列三個方程: , ,
至少有乙個方程有實數根,求實數的取值範圍.
分析:若從題設入手,三個方程至少有乙個有實數根,則需要分為三類,即有乙個方程有實根,有兩個方程有實根, 有三個方程有實根.而且前兩類中又各有三種情況,比較複雜.
因此考慮該問題的相反情況即:三個方程都沒有實根.求得的範圍後,再在上求補集.
該轉化較好的體現了正難反則易的思想.
解:假設三個方程均無實根，則有，解（1）得：解（2）得：解（3）得：所以三個方程均無實數解時因此三個方程至少有乙個實數解時的取值範圍是.
10.利用歸納模擬實現化歸與轉化
例10 在球面上有四個點,如果兩兩互相垂直，如圖2所示,且那麼這個球面的面積是
解析:本題若只從題設條件入手,不易確定與球心及球的半徑的關係，因此不易找到等量關係進行計算.若模擬我們熟悉的球與多面體的組合體,則可以聯想到球的內接正方體.
看作正方體頂點處的三條稜（如圖3）,正方體的體對角線就是球的直徑. 通過模擬, 確定了球心及半徑與已知條件的關係,把問題轉化為球的內接正方體問題.所以球的半徑,球的表面積.
故選.化歸與轉化的思想貫穿於解題行為的始終,化歸與轉化的方法精彩紛呈,不勝列舉.讓我們深刻理解化歸與轉化的精髓,把握化歸與轉化的方法,進一步提高分析問題和解決問題的能力.
2019高考數學解題技巧轉化與化歸思想
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初中數學思想方法篇 化歸思想
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