課時作業(十)
一、選擇題
1．方程－＝1表示雙曲線，則m的取值範圍( )
a．－2＜m＜2b．m＞0
c．m≥0 d．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示雙曲線，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
【答案】 a
2．設動點p到a(－5,0)的距離與它到b(5,0)距離的差等於6，則p點的軌跡方程是( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1(x≤－3) d.－＝1(x≥3)
【解析】 由題意知，軌跡應為以a(－5,0)，b(5,0)為焦點的雙曲線的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴p點的軌跡方程為－＝1(x≥3)．
【答案】 d
3．(2014·福州高階中學期末考試)已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點f1，f2分別為(，0)和(－，0)，點p在雙曲線上，且pf1⊥pf2，△pf1f2的面積為1，則雙曲線的方程為( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－y2＝1 d．x2－＝1
【解析】 由
(|pf1|－|pf2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故選c.
【答案】 c
4．已知橢圓方程＋＝1，雙曲線的焦點是橢圓的頂點，頂點是橢圓的焦點，則雙曲線的離心率為( )
ab.c．2 d．3
【解析】 橢圓的焦點為(1,0)，頂點為(2,0)，即雙曲線中a＝1，c＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝2.
【答案】 c
二、填空題
5．設點p是雙曲線－＝1上任意一點，f1，f2分別是其左、右焦點，若|pf1|＝10，則|pf2
【解析】 由雙曲線的標準方程得a＝3，b＝4.
於是c＝＝5.
(1)若點p在雙曲線的左支上，
則|pf2|－|pf1|＝2a＝6，∴|pf2|＝6＋|pf1|＝16；
(2)若點p在雙曲線的右支上，
則|pf1|－|pf2|＝6，
∴|pf2|＝|pf1|－6＝10－6＝4.
綜上，|pf2|＝16或4.
【答案】 16或4
6．(2014·河南省洛陽高一月考)已知f1(－3,0)，f2(3,0)，滿足條件|pf1|－|pf2|＝2m－1的動點p的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是下列資料中的填序號)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 設雙曲線的方程為－＝1，則c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－【答案】 ①②
7．(2014·哈爾濱高二檢測)已知△abp的頂點a、b分別為雙曲線c：－＝1的左、右焦點，頂點p在雙曲線c上，則的值等於________．
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△abp中，利用正弦定理和雙曲線的定義知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答題
8．求與雙曲線－＝1有相同焦點且過點p(2,1)的雙曲線的方程．
【解】 ∵雙曲線－＝1的焦點在x軸上．
依題意，設所求雙曲線為－＝1(a>0，b>0)．
又兩曲線有相同的焦點，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6
又點p(2,1)在雙曲線－＝1上，
∴－＝1
由①、②聯立，得a2＝b2＝3，
故所求雙曲線方程為－＝1.
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數，對於不同範圍的k值分別指出方程所表示的曲線型別．
【解】 (1)當k＝0時，y＝±2，表示兩條與x軸平行的直線；
(2)當k＝1時，方程為x2＋y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓；
(3)當k＜0時，方程為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線；
(4)當0＜k＜1時，方程為＋＝1，表示焦點在x軸上的橢圓；
(5)當k＞1時，方程為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓．
1．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則a的值為
( )
a．1 b. c．2 d．3
【解析】 由題意知橢圓、雙曲線的焦點在x軸上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(捨去)．故選a.
【答案】 a
2．(2014·桂林高二期末)已知f1、f2為雙曲線c：x2－y2＝1的左、右焦點，點p在c上，∠f1pf2＝60°，則|pf1|·|pf2|等於( )
a．2 b．4 c．6 d．8
【解析】 不妨設p是雙曲線右支上一點，
在雙曲線x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
則|pf1|－|pf2|＝2a＝2，|f1f2|＝2，
∵|f1f2|2＝|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1|·|pf2|·cos∠f1pf2，
∴8＝|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1|·|pf2|·，
∴8＝(|pf1|－|pf2|)2＋|pf1|·|pf2|，
∴8＝4＋|pf1||pf2|，
∴|pf1||pf2|＝4.故選b.
【答案】 b
3．(2014·福建省廈門一中期末考試)已知雙曲線－＝1的左焦點為f，點p為雙曲線右支上的一點，且pf與圓x2＋y2＝16相切於點n，m為線段pf的中點，o為座標原點，則|mn|－|mo
【解析】 設f′是雙曲線的右焦點，連pf′(圖略)，因為m，o分別是fp，ff′的中點，所以|mo|＝|pf′|，
又|fn|＝＝5，且由雙曲線的定義知|pf|－|pf′|＝8，故|mn|－|mo|＝|mf|－|fn|－|pf′|＝(|pf|－|pf′|)－|fn|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知雙曲線－＝1的兩焦點為f1、f2.
(1)若點m在雙曲線上，且·＝0，求點m到x軸的距離；
(2)若雙曲線c與已知雙曲線有相同焦點，且過點(3，2)，求雙曲線c的方程．
【解】 (1)不妨設m在雙曲線的右支上，m點到x軸的距離為h，
·＝0，
則mf1⊥mf2，
設|mf1|＝m，|mf2|＝n，
由雙曲線定義知，m－n＝2a＝8
又m2＋n2＝(2c)2＝80
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|f1f2|·h，
∴h＝.
(2)設所求雙曲線c的方程為
－＝1(－4<λ<16)，
由於雙曲線c過點(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(捨去)．
∴所求雙曲線c的方程為－＝1.
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雙曲線及其標準方程 說課稿
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