1．已知某角的乙個三角函式值，求該角的其他三角函式值．
解 ∵sinα＜0
∴角α在第三或第四象限(不可能在y軸的負半軸上)
(2)若α在第四象限，則
說明在解決此類問題時，要注意：
(1)盡可能地確定α所在的象限，以便確定三角函式值的符號．
(2)盡可能地避免使用平方關係(在一般情況下只要使用一次)．
(3)必要時進行討論．
例2 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．
(2)當m=±1時，α的終邊在y軸上，tgα無意義．
(3)當α在ⅰ、ⅳ象限時，∵cosα＞0．
當α在第ⅱ、ⅲ象限時，∵cosα＜0，
說明 (1)在對角的範圍進行討論時，不可遺漏終邊在座標軸上的情況．
(2)本題在進行討論時，為什麼以cosα的符號作為分類的標準，而不按sinα的符號(即m的符號)來分類討論呢？你能找到這裡的原因並概括出所用的技巧嗎？
2．三角函式式的化簡
三角函式式的化簡的結果應滿足下述要求：
(1)函式種類盡可能地少．
(2)次數盡可能地低．
(3)項數盡可能地少．
(4)盡可能地不含分母．
(5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來．
化簡的總思路是：盡可能地化為同類函式再化簡．
例3 化簡sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα
=secα·cscα
解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)
=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)
=tgα+ctgα
=secα·cscα
說明 (1)在解1中，將正切、餘切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函式種類的思路進行的．
(2)解2中的逆用公式將sinα·cosα用tgα表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用．
例4 化簡：
分析將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進行化簡．
3．三角恒等式的證明
證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現實質上的同，這個過程，往往是從化簡開始的——這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最複雜處開始．
例5 求證 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．
分析從複雜的左邊開始證得右邊．
=2cosα-3tgα=右邊
例6 證明恒等式
(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α
(2)(sina+ seca)3+(cosa+csca)2=(1+secacsca)2
分析 (1)的左、右兩邊均較複雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡
證明 (1)右邊-左邊=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1
=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1
=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1
=(sec2α-tg2α)2-1=0
∴等式成立．
=sin2a+cos2a=1故原式成立
在解題時，要全面地理解「繁」與「簡」的關係．實際上，將不同的角化為同角，以減少角的數目，將不同的函式名稱，化為同名函式，以減少函式的種類，都是化繁為簡，以上兩點在三角變換中有著廣泛的應用．
分析1 從右端向左端變形，將「切」化為「弦」，以減少函式的種類．
分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進而可以約分，達到化簡的目的．
說明 (1)當題目中涉及多種名稱的函式時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或將弦化為切(如解法2)以減少函式的種類．
(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列．
=secα+tgα
∴等式成立
說明以上證明中採用了「1的代換」的技巧，即將1用sec2α-tg2α代換，可是解題者怎麼會想到這種代換的呢？很可能，解題者在採用這種代換時，已經預見到代換後，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎上的，當然，對不熟練的解題者而言，還有如下的「一般證法」——即證明「左邊-右邊=0」
∴左邊=右邊
三角函式經典例題
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同角三角函式關係
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