通分是解決分式加減的基礎,要解決好分式的運算,就必須掌握好分式的通分問題。通分時常常是先找出最簡公分母,將其變為同分母分式,然後再加減。可在實際運算時,有時找最簡公分母十分麻煩,或者在進行通分時,將面臨著複雜、繁煩的計算,甚至走進「死胡同」,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,這樣能使問題變得簡單,即化難為易。
現介紹幾種常用的通分技巧,供同學們在學習時合理選用。
一、分組通分
例1 計算-+-。
分析經觀察發現,分母的結構有如下特點:a+2與a-2相乘、a+1與a-1相乘可分別構成平方差,故本題可先合理搭配,採用分組通分的方法來解。
解原式=-+-=+=。
點評根據分母的結構特點合理分組後再進行通分,可簡化運算。
二、逐步通分
例2 計算:+++。
分析四個分式分母迥然不同,如果先找最簡公分母再通分,結果只能勞而無功。若把前兩個分式通分化簡,將結果再與第三個分式通分,依次類推,逐步通分,可使問題得到解決。
解原式=++=++
=+=。
三、整體通分
例3 計算:x+y+。
分析乙個整式與分式相加減,將整式當做乙個整體,看做分母為1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+
= + =。
四、分解因式,約分後通分
例4 計算-。
分析觀察發現各分式的分子、分母均可分解因式,故應先分解因式,約分後再通分。
解原式=- =-==。
點評當分式的分子、分母可分解因式時,一般應先分解因式,進行約分後再通分。
五、改變排序,一次通分
例5 計算++。
分析這是輪換式問題,對這樣的問題可通過適當改變字母的排列順序來找到公分母,然後再進行通分。
解原式=++
=++==0。
點評面對輪換式的問題,採用這種先行變序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解題。
六、常量代換,自然通分
例6 設abc=1,試求++的值。
分析根據分式的結構特點和已知條件,運用分式的基本性質和常量代換的方法,本題可獲巧解。
解原式=++
=++==1。
點評本題的解法很巧妙,它是在認真分析題目特點的基礎上,利用分式的基本性質和常量代換,使其由「山重水複」變為「柳暗花明」的。
七、裂項相消,拆項通分
例7 化簡:+++…+。
分析當分式比較複雜,而且按常規方法通分十分艱難時,就要看看題中是否隱含著某些規律。當每乙個分式的分母是兩個因數之積,而分子又是乙個定值時,可將每乙個分式先拆成兩項之差,前後相消後再通分。
解原式點評合理、靈活地運用各種變形技巧,能使枯燥乏味、繁雜冗長的分式運算變得簡單明瞭。而要做到這一點,就必須細心觀察和認真分析題目中各分式的特點。
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