第三章曲面立體
一.教學目的
了解曲線的分類及其投影特性，掌握平面曲線的投影特性。
了解曲面的形成及分類，掌握三種主要迴轉曲面的形成、投影特性及曲面上求點的方法。
了解平螺旋麵的形成及螺旋樓梯的畫法。
二.教學重點
重點掌握圓柱面、圓錐面、球面的形成及其投影特性。
重點講解圓柱面、圓錐面及球面上定點的方法。
三.教學難點
求解球面上的特殊點和一般點。
通過強調球面三個特殊赤道圓在投影面中投影的對應關係，加強學生的空間想象力。
（結合形象的幻燈片，學生往往課堂上能聽明白，可是課後作業出錯較多。）
四.布置作業
習題集§3-1曲線與曲面
建築工程中有很多不同的曲面，從幾何形成來分，曲面可分為規則曲面和不規則曲面，本節主要討論規則曲面。
曲線可以看成點的運動軌跡，按照點的運動有無規律，可把曲線分成規則曲線和不規則曲線，築物中常見的曲線大部分為規則曲線。
按曲線上所有點是否在同一平面上，分為平面曲線和空間曲線。
平面曲線：曲線上所有點都在同一平面上。如：圓、橢圓、雙曲線、拋物線
空間曲線：曲線上四個連續的點不在同一平面上。如：圓柱螺旋線
一.曲線的投影特性
1.曲線的投影一般仍為曲線。
2.點在曲線上，點的投影必在曲線的投影上。
3.曲線上某點的切線，其投影與曲線的同面投影仍相切，且切點不變。
二.平面曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）
平面曲線除具有上述投影特性，還具有如下投影特性：
1.當平面曲線所在平面平行於某一投影面時，在該投影面上的投影反映平面曲線的實形。
2.當平面曲線所在平面垂直於某一投影面時，在該投影面上的投影積聚為一條直線。
3.平面曲線上的特殊點（如：拐點、最高（低）點、最左（右）點），其投影仍具備特殊性。
三.圓的投影
（一）圓的投影分三種情況：
1.圓所在平面平行投影麵時，該投影面的投影為同樣大小的圓（顯實）。
2.圓所在平面垂直投影面時，該投影面的投影為一直線（積聚）。
3.圓所在平面傾斜投影面時，該投影面的投影為一橢圓（相似）。
（二）當圓的投影為橢圓時投影的畫法
1.共軛直徑：圓上任意一對相互垂直的直徑投影後一般不再垂直，這對直徑稱為橢圓的一對共軛直徑。
2.長短軸：圓上一對相互垂直的直徑，其中一條直徑為一投影面的平行線時，這對直徑稱為橢圓的長短軸。
其中該平行顯為長軸，另一直徑為短軸，且長短軸在投影種反映垂直關係，即橢圓的一對相互垂直的共軛直徑為橢圓的長短軸。
3.畫法
前面幾何作圖中介紹橢圓的做法有兩種：四心法、同心圓法。這兩種方法都比較麻煩，作投影圖時浪費時間。這裡介紹另一種更為簡單的方法——八點法。
四.圓柱螺旋線
各種曲線和曲面，曲面的投影不作為講解的重點。
§3-2曲面體的投影
由曲面圍成或由曲面和平面圍成的立體稱為曲面體，例如圓環體由圓環面圍成，圓錐體由圓錐面和錐底平面圍成。只要作出圍成曲面體表面的所有曲面和平面的投影，便可得到曲面體的投影。
本節主要講解曲面體的形成、建築上常見基本曲面體（圓柱、圓錐、球）的投影特性及曲面體表面上求點的方法。
一. 圓柱體
圓柱面是由兩條相互平行的直線，其中一條直線（稱為直母線）繞另一條直線（稱為軸線）旋轉一周而形成。圓柱體（簡稱圓柱）由兩個相互平行的底平面（圓）和圓柱面圍成。圓柱面上的與柱軸平行的直線，稱為柱面上的素線，素線相互平行。
（特點：1.每根素線都與軸線平行且等距。
2.任兩根素線都平行。3.
當用一垂直於軸線的平面截斷圓柱面時，每個截斷面都是等直徑的圓。）
1.圓柱體的投影
2.圓柱面上求點的方法――利用積聚投影
例1 如圖所示，若已知圓柱面上兩點a和b和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側面投影a"、b"。
分析：根據已知條件a'可見，b'不可見，可知a點在前半個圓柱面上；b點在後半個圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然後根據已知二投影求出a″和b″。
由於a點在左半圓柱面上，所以a″為可見；而b點在右半圓柱面上，所以b″為不可見。
3.圓柱面上求曲線：求出所有特殊點，如最高和低點、最前和最後點、最左和最右點。
二. 圓錐體
圓錐面是由兩條相交的直線，其中一條直線（簡稱直母線）繞另一條直線（稱為軸線）旋轉一周而形成，交點稱為錐頂。圓錐體（簡稱圓錐）由圓錐面和乙個底平面（圓）圍成。底圓心與錐頂的連線稱為錐軸。
圓錐面上交於錐頂的直線，稱為錐面上的素線。
1. 圓錐體的投影
與圓柱的投影相似，圓錐正面投影中，等腰三角形的兩腰是圓錐面上最左、最右兩條素線的投影，它們是圓錐面的正面投影輪廓線；它們的側面投影與軸線的側面投影重合，亦不必畫出。同時，這兩條投影輪廓線還是圓錐面正面投影的可見性分界線。
2.圓錐面上求點的方法
在圓錐面上求作已知點的其餘兩投影，方法有素線法和緯圓法
（1）素線法――－過錐頂和圓錐表面上的點作一條素線。
（2）緯圓法――過錐表面的點作乙個平行與圓錐底面的緯圓。
例2 如圖（a）所示，若已知圓錐面上m點的正面投影m'，求作它的水平投影m和側面投影m″。
分析：根據已知條件m'可見，故m點位於前半個圓錐面上，m必在水平投影中前半個圓內，且投影為可見；m″在側面投影中靠三角形外側，投影亦為可見。
作圖1、素線法[圖（b）]：
（1）連s'm'並延長，使與底圓的正面投影相交於1'點，求出s1及s″1″，si即為過m點且在圓錐面上的素線；
（2）已知m'，應用直線上取點的作圖方法求出m及m″。
2、緯圓法[圖（b）]：
（1）作過m點的緯圓；在正面投影中過m'作水平線，與正面投影輪廓線相交（該直線段即緯圓的正面投影）。取此線段的一半長度為半徑，在水平投影中畫底面輪廓圓的同心圓（此即是該緯圓的水平投影）。
（2）過m'向下引投影連線，在緯圓水平投影的前半圓上求出m，並根據m'和m求出m″。
3.圓錐表面上求曲線
例3 如下圖所示，已知圓錐面上的曲線ae的正面投影a'e'（a'e'為直線），求作其另兩個投影。
三. 球體
圓球面是由圓（曲母線）繞它的直徑（軸線）旋轉一周而形成。圓球體（簡稱球）由圓球面圍成。
1. 球的投影――三面投影為大小相等的圓
2. 球面上求點――緯圓法
球表面上求點只有一種方法，即緯圓法。
例4 已知球面上兩點c、d的正面投影c'（可見）d'（不可見）。試求它們的另二投影[圖（a）。
分析：根據題意點c'為可見，因此c點位於前半球，而且還在上半球，故其水平投影應為可見；又由於c'還在左半球上，其側面投影也必為可見。
根據題意d'為不可見，d點位於後半球的右側下半球面，因此，d點的水平投影及側面投影都是不可見的。
作圖 1、求c點的二投影：
（1）過c'作水平輔助圓，該圓的正面投影為過c'且垂直於鉛垂軸線的水平線，其兩端與正面轉向輪廓圓交於1'、2'兩點；
（2）以1'2'線段的一半長度為半徑，以水平投影輪廓圓的中心為圓心畫圓，此即為輔助圓的水平投影；
（3）由c'向下引投影連線與輔助圓的前半圓相交得c，然後再根據c'及c求出側面投影c″.
§3-3 平面切割曲面體
一.教學目的
理解截交線的概念及形成。
掌握各種曲面體表面上求點的方法。
熟練掌握求曲面體截交線的步驟。
二.教學重點
講課重點：常見曲面體表面定點的方法。
闡述求曲面體截交線的過程。
三.教學難點
注意求解步驟的最後一步中的可見性判斷的講解，要充分發揮學生的空間想象力，否則學生不易理解。
四.布置作業
習題集一、曲面體的截交線
截平面與迴轉體表面相交，截交線上的每一點都是截平面與曲面體表面的公有點。求出足夠的公有點，再依次連線即可得到截交線。
曲面體的截交線是由曲線或直線圍成的封閉平面(空間)圖形。
主要掌握圓柱、圓錐、球體的截交線的求解。
1.圓柱上的截交線
截交線的形狀有三種：圓、橢圓、矩形。
柱面上求點方法：利用積聚性。
例4 已知圓柱被正垂面截切後的正面投影和水平投影，試求作其側面投影。
(a) (b)
分析：由圖4-9a可知，正垂的截平面傾斜於圓柱的軸線，故截交線在空間是乙個橢圓。橢圓的長軸ab為正平線，其端點a、b是圓柱面上最左和最右輪廓線與平面p的交點。
短軸cd則在過ab中點的正垂線上，其長度等於圓柱的直徑。
注意：a,b,c,d四點為特殊點；e,f,g,h四點為必須要找的一般點。
2.圓錐上的截交線
截交線的形狀有五種：圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形。
錐面上求點的方法：素線法、緯圓法。
例5 已知圓錐被正垂面截切後的正面投影，試求作其水平投影和側面投影。
注意：a,b,c,d,e點為特殊點； f,g,點為必須要找的一般點。
3.球體上的截交線
平面截切圓球時，無論截平面與球的相對位置如何截交線的空間形狀總是圓。截交線的形狀只有一種：圓。
球面上求點的方法：緯圓法。
例6 已知球體被截切後的正面投影及部分水平和側面投影，試補全其水平投影和側面投影。
注意：1，2，3，4，5，6，7，8點為特殊點，其中3，4點為橢圓的長軸的端點，容易遺忘； 9，10點為必須要找的一般點。
總結曲面立體截交線的求法：
1.分析截交線的形狀
2.求解步驟：
1)分析基本形體
2)分析截平面和各段截交線的形狀
3)在截平面的積聚投影上找出所有的特殊點和一般點，並用數字標註
4)求出所有特殊點和一般點的另外兩面投影
5)連線：同一面上相鄰兩點依次用光滑曲線或直線連線
6)整理圖形，判別可見性
通過具體例題的求解來闡明曲面體截交線的解體思路，步驟。大部分例題利用板書演示作題過程，加深學生的理解。
一.教學目的
理解相貫線的概念及形成。
能正確分析相貫線的空間形狀。
熟練掌握求平面體和曲面體、曲面體與曲面體相貫線的步驟。
二.教學重點
講課重點：強調必須通過積聚投影來找所有的點，不要遺漏。
反覆敘述各種形體表面求點的方法，使學生能夠熟練掌握。
三.教學難點
激發學生的空間思維，分析相貫線的空間形狀，可見性的判斷。
四.布置作業
習題集§3-4 平面體與曲面體相交
一、相貫線的空間形狀
由幾段平面曲線或平面直線組成，每段平面曲線或平面直線都是平面體側面截割曲面體形成的截交線，每個轉折點都是平面體稜線與曲面體表面的交點。
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