一、中考知識導航
二、中考課標要求
知識與技能目標 │
│ 考點 │ 課標要求
了解│理解│掌握│靈活應用
了解一元二次方程的定義
及雙重性
│ 一
│ 元 │掌握一元二次方程的四種
│ 二 │解法,並能靈活運用
│ 次
│ 方 │掌握一元二次方程根的判
│ 程 │別式,並能運用它解相應
問題掌握一元二次方程根與系
數的關係,會用它們解決
有關問題
會解一元二次方程應用題
三、中考知識梳理
1.靈活運用四種解法解一元二次方程
一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法:直接開平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法:
x= (b2-4ac≥0)
注意:掌握一元二次方程求根公式的推導;主要數學方法有:配方法,換元法,「消元」與「降次」.
2.根的判別式及應用(△=b2-4ac)
(1)判定一元二次方程根的情況.
△>0有兩個不相等的實數根;
△=0有兩個相等的實數根;
△<0沒有實數根;
△≥0有實數根.
(2)確定字母的值或取值範圍.
應用根的判別式,其前提為二次係數不為0;考查時,經常和根與係數的關係、函式知識相聯絡、判別根的情況常用配方法.
3.根與係數的關係(韋達定理)的應用
韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=-,x1·x2=.
(1)已知一根求另一根及未知係數；
(2)求與方程的根有關的代數式的值;
(3)已知兩根求作方程;
(4)已知兩數的和與積,求這兩個數;
(5)確定根的符號:(x1,x2是方程兩根).
有兩正根
有兩負根
有一正根一負根
有一正根一零根
有一負根一零根
x1=x2=0
應用韋達定理時,要確保一元二次方程有根,即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時,一般把求作方程的二次項係數設為1,即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母係數的值時,需使二次項係數a≠0,同時滿足△≥0;求代數式的值,常用整體思想,把所求代數式變形成為含有兩根之和x1+x2,兩根之積x1x2的代數式的形式,整體代入.
4.一元二次方程的應用
解應用題的關鍵是把握題意,找準等量關係,列出方程.最後還要注意求出的未知數的值,是否符合實際意義.
四、中考題型例析
1.了解方程判定方程根的情況
例1 (2004·武漢)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情況是( ).
a.有兩個相等的實數根; b.有兩個不相等的實數根
c.只有乙個實數根d.沒有實數根
解析:因為△=32-4×4×(-2)>0,所以該方程有兩個不相等的實數根.
答案:b.
2.由方程根的情況求字母係數的取值範圍
例2 (2004·重慶)若關於x的一元二次方程x2+x-3m=0有兩個不相等的實數根,則m的取值範圍是( )
> < >- <-
分析:因為該方程有兩個不相等的實數根,所以應滿足△>0.
解:由題意,得△=12-4×1×(-3m)>0,
解得 m>-.
答案:c.
3. 解一元二次方程
例3 (2004·四川)解方程:x2+3x=10.
分析:根據方程的特點,可用公式法求解.
解:原方程就是x2+3x-10=0,
這裡a=1,b=3,c=-10.
b2-4ac=32-4×1×(-10)=49.
∴x=.
∴x1=2,x2=-5.
點評:要根據方程的特點靈活選用方法解方程.
4.根據與係數的關係,求與方程的根有關的代數式的值.
例4 (2004·河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根,則x12+x22的值是( )
a. b. c. d.7
分析:本題解法不唯一,可先解方程求出兩根,然後代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要將所求代數式轉化成含有x1+x2和x1x2的代數式,再整體代入.
解:由根與係數關係可得x1+x2=,x1·x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.
答案:a.
點評:公式之間的恒等變換要熟練掌握.
5.一元二次方程的應用
例5 (2004·陝西)在一幅長80cm,寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊,製成一幅矩形掛圖.如果要使整個掛圖的面積是5 400cm2,設金色紙邊的寬為xcm,那麼x滿足的方程是( )
400=0
400=0 350=0
解析:在矩形掛圖的四周鑲一條寬為xcm的金邊,那麼掛圖的長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm,由題意,可得(80+2x)(50+2x)=5 400.
答案:b.
基礎達標驗收卷
一、選擇題
1.(2004·武漢)一元二次方程x2-4=0的根為( ).
2.(2004.長沙)下列一元二次方程中,有實數根是( ).
3.(2004·河南)如果關於x的方程x2+mx+1=0的兩個根的差為1,那麼m等於( ).
a.±2 b.± c.± d.±
4.(2004·安徽)方程x2-3x+1=0根的情況是( ).
a.有兩個不相等的實數根; b.有兩個相等的實數根
c.沒有實數根d.只有乙個實數根
5.(2004·雲南)用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,則方程可變形為( ).
a.(x-4)2=9 b.(x+4)2=9; c.(x-8)2=16 d.(x+8)2=57
6.(2004·黃岡)下列說法中正確的是 ( ) [可多選]
a.方程x2+2x-7=0的兩實數根之和為2; b.方程2x2-3x-5=0的兩實數根之積為-
c.方程x2-2x-7=0的兩實數根的平方和為18;
d.方程x2+3x-5=0的兩實數根的倒數和為
二、填空題
1.(2004·天津)已知關於x的方程x2-3x+m=0的乙個根是另乙個根的2倍,則m的值為_______.
2.(2004.瀋陽)方程x2-2x-3=0的根是________.
3.(2004,青海)方程x2+ax-1=0有_______個實數根.
4.(2004.青海)以2+和2-為根的一元二次方程是
5.(2003.重慶)已知x1、x2是關於x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的兩個實數根,且x1+x2=,則x1·x2
三、解答題
1.(2004.上海)關於x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判別式的值為1,求m的值及該方程的根.
2.(2004.重慶)已知關於x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的兩個不相等的實數根為α、β滿足=1,求m的值.
3.(2004.南昌)已知關於x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)當m取什麼值時,原方程沒有實數根.
(2)對m選取乙個合適的非零整數,使原方程有兩個實數根,並求這兩個實數根的平方和.
能力提高練習
一、學科內綜合題
1.(2004.瀋陽)閱讀下列解題過程:
題目:已知方程x2+3x+1=0的兩個根為α、β,求的值.
解:∵△=32-4×1×1=5=0,
由一元二次方程的根與係數的關係,得α+β=-3, αβ=1. ②
∴==-3
中考複習教案教案 第2課時一元二次方程的解法 1
精品教學目標 1 知道直接開平方法適用於解形如 x h 2 m的方程，它的依據是數的開 方 2 會用直接開平方法解形如 x a 2 b b 0 的方程 3 在把 x a 2 b b 0 看成x 2 b b 0 的過程中，引導學生體會 換 元 的數學方法。教學重點 用直接開平方法解一元二次方程 教學難...
第3課時解一元一次不等式
9.2 解一元一次不等式 教學目的 進一步掌握一元一次不等式的解法 熟練掌握一元一次不等式的應用.教學過程 一 複習 1.基礎訓練 1 已知是關於的一元一次不等式,那麼不等式的解集是 2 不等式的解集是 3 當取時,代數式的值為負數.4 當取時,關於的方程的解為正數.5 已知,若,則 2.求不等式的...
第22章第2節解一元二次方程第4課時教案
主備人 盧勇 教學目標 1 正確理解因式分解法的實質。2 熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程 教學重點 運用因式分解法解一元二次方程 教學難點 理解因式分解法的實質。教學流程 一 預習作業預習範圍 教材p38 p39 一 知識點一 多項式的因式分解 1 把下列各式因式分解 1 3x2 26x2 x...