§2．2 配方法
課時安排
3課時從容說課
配方法是繼探索一元二次方程近似解的基礎上研究的一種求精確解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因為用配方法解一元二次方程比較麻煩，乙個一元二次方程需配一次方，所以在實際解一元二次方程時，一般不用配方法．但是，配方法是匯出求根公式的關鍵，且在以後的學習中，會常常用到配方法．因此，要理解配方法，並會用配方法解一元二次方程.
本節的重點、難點是配方法．根據課程的特點，以及學生的認知結構特點，本節內容分三課時．
在教學時，首先從前面兩節課的例項引入求精確解.因為我們已經能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求乙個一元二次方程的精確解時，是否可把方程轉化為已經能解的方程，這時引入了一元二次方程的解法——配方法．
配方法的關鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特徵．
教學方法主要是學生自主探索、發現的方法．
第三課時
課題 §2．2.1 配方法(一)
教學目標
(一)教學知識點
1．會用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
(二)能力訓練要求
1．會用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法．
2．體會轉化的數學思想方法．
3．能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性．
(三)情感與價值觀要求
通過師生的共同活動，學生的進一步操作來增強其數學應用意識和能力．
教學重點
利用配方法解一元二次方程
教學難點
把一元二次方程通過配方轉化為(x+m)2＝n(n≥0)的形式．
教學方法
講練結合法
教具準備
投影片六張：
第一張：問題(記作投影片§2．2．1 a)
第二張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 b)
—第三張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 c)
第四張：想一想(記作投影片§2．2．1 d)
第五張：做一做(記作投影片§2．2．1 e)
第六張：例題(記作投影片§2．2．1 f)
教學過程
ⅰ．創設現實情景，引入新課
[師]前面我們曾學習過平方根的意義及其性質，現在來回憶一下：什麼叫做平方根?平方根有哪些性質?
[生甲]如果乙個數的平方等於a，那麼這個數就叫做a的平方根。
用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根．
[生乙]平方根有下列性質：
(1)乙個正數有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數的．
(2)零的平方根是零．
(3)負數沒有平方根．
[師]很好，那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎?
[生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值為2和-2．
[師]很好；下面我們來看上兩節課研究過的問題．(出示投影片§2．2．1 a)
如圖，乙個長為10 m的梯子斜靠在牆上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那麼梯子的底端滑動多少公尺?
[師]由前節課的分析可知：梯子底端滑動的距離x(m)滿足x2+12x-15＝0．上節課我們已求出了x的近似值，那麼你能設法求出它的精確值嗎?
……這節課我們就來研究一元二次方程的解法．
ⅱ．講授新課
[師]我們已經學習了一元二次方程的定義及有關概念，現在同學們來討論一下：你能解哪些一元二次方程?
[生甲]等式x2=4就是一元二次方程，
像這樣型別的方程我們就能解.
[生乙]方程(x+3)2＝9，我們也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等於9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等於3或-3，因此x＝0或x＝-6．
[師]乙同學分析得很好，大家聽清楚了沒有?……好，下面大家看大螢幕(出示投影片§ 2．2．1 b)
你會解下列一元二次方程嗎?你是怎麼做的?
(1)x2＝52)3x2＝0；
(3)x2-4＝0； (4)2x2-50＝0；
(5)(x+2)2＝5； (6)(x-3)2＝6；
(7)2x2+50＝0．
[生甲]方程(1)的解為，-，因為x是5的平方根．
方程(2)的解為0，因為方程3x2＝0可以化為x2＝0，即x是0的平方根．
[生乙]方程(3)可以通過移項化為方程
(1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根為2，-2．
方程(4)也可以通過移項化為方程(2)的形式，即2x2＝50，然後再化為x2＝25，因此
方程(4)的根為5，-5．
[生丙]解方程(5)和(6)時，只要把(x+2)和(x-3)當作整體看待，其形式就如方程
(1)，這樣方程(5)和(6)即可求解．
方程(5)就是求(x+2)，使它的平方為5，則x+2就等於或- ，因此，x就等於-2+或-2-．
方程(6)就是求(x-3)，使它的平方為6，則(x-3)就等於或- ，因此，x等於
3+ 或3-．
[生丁]方程(7)通過移項得2x2＝-50．
而由平方根的性質可知：負數沒有平方根，所以沒有乙個實數適合這個方程．
[師]同學們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．其中適合方程(7)的實數x不存在，所以原方程無實數解．
從剛才的解題過程中，我們知道了一元二次方程如果有解，則它有兩個根，這兩個根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我們在書寫時，通常用x1、x2表示未知數為x的一元二次方程的兩個根．
注意：(1)方程3x2＝0有兩個相等的實數根，即x1=0，x2=0．這與一元一次方程3x=0有乙個根x＝0是有區別的．
(2)剛才我們解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0來表示．當a、c異號時，方程ax2+c＝0有兩個不相等的實數根；當a、c同號時，ax2+c=0沒有實數根．
好，接下來同學們來看大螢幕(出示投影片§2．2．1 c)。分組討論討論．
判斷下列方程能否用開平方法來求解?如何解?
(1)x2-4x+4＝2；
(2)x2+12x+36＝5．
[生甲]方程(1)能用開平方法求解．因為方程(1)的左邊正好是乙個完全平方式，右邊是乙個正數，所以它可以化為(x-2)2＝2．這樣利用直接開平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-.
[生乙]方程(2)也能用平方法來解，方法同解方程(1)，即原方程化為(x+6)2=5．兩邊分別開平方，得x+6＝±，
即x1＝-6+，x2＝-6-
[師]很好，同學們基本了解了解一元二次方程的基本思路，誰來給大家敘述一下呢?
[生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程變為(x+m)2＝n，然後兩邊同時開平方，這樣原方程就轉化為兩個一元一次方程．
[師]真棒，實際上解一元二次方程的關鍵是要設法將其轉化為一元一次方程，即將原方程「降次」，「降次」也是一種數學方法．
下面我們來看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值，同學們先來想一想：(出示投影片§2．2．1 d)
解方程x2+12x-15=0的困難在**?你能將方程x2+12x-15＝0轉化成(x+m)2=n的形式嗎?
[生]解方程x2+12x-15＝0的困難就是：怎麼樣能把x2+12x-15=0的左邊變成乙個完全平方形式，右邊變成乙個非負數．
[師]噢，那想一想完全平方式的特徵是什麼?
[生]完全平方公式是:a2±2ab+b2＝(a±b)2
[師]好，下面大家來做一做．(出示投影片§2．2．1 e)
填上適當的數，使下列等式成立．
(1)x2+12x+ ＝(x+6)2；
(2)x2-4x+ =(x- )2；
(3)x2+8x+ ＝(x+ )2．
[生甲](1)的左邊應填上：36．
(2)的左邊應填上4，右邊填；2．
(3)的左邊應填上16，右邊填：4．
[生乙]老師，我看出來了，這三個等式的左邊填的常數是：一次項係數一半的平方；而右邊填的是：一次項係數的一半．是嗎?
[師]大家說呢?
[生齊聲]是．
[師]好，我們理解了完全平方式的特徵後，把方程；x2+12x-15＝0轉化為(x+m)2＝n的形式．
[師生共析]x2+12x-15＝0，
可以先把常數項移到方程的右邊，得
x2+12x＝15．
兩邊都加上62(一次項係數12的一半的平方)，得
x2+12x+62=15+62，
即(x+6)2＝51．
[師]接下來能否求出方程x2+12x-15＝0的精確值，即梯子底端滑動的距離呢?
[生齊聲]能，給方程兩邊開平方，得
x+6＝±，
即x+6＝或x+6＝-
所以x1＝-6+,2＝-6-．
[師]噢，所以梯子底端滑動了(-6+)m或(-6-)m．
[生]老師，梯子底端滑動的距離是正數，不能是負數，所以x1是原問題的解，而x2不是．
[師]大家說，對嗎?
[生齊聲]對．
[師]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原問題的解，所以應捨去．
我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15＝0的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法(solving by completing the square)．
下面同學們來看一例題：(出示投影片§2．2．1 f)
[例題]解方程x2+8x-9＝0．
[師]大家能獨立解這個方程嗎?
2 2配方法 二 教案
2.2 配方法 二 教案 教學目標 1 利用配方法解數字係數的一般一元二次方程。2 進一步理解配方法的解題思路。教學重點 難點 用配方法解一元二次方程的思路 給方程配方。教學程式 一 複習 1 什麼叫配方法？2 怎樣配方？方程兩邊同加上一次項係數一半的平方。3 解方程 1 x2 4x 3 0 2 x...
經典教案 配方法 北師大版
配方法 一 北師大版數學九年級上冊第二章一元二次方程 一 教學目標 知識與技能目標 1 會用直接開平方法解形如 x m 2 n n 0 的一元二次方程 2 理解配方法的思想，掌握用配方法解形如的一元二次方程 3 能利用方程解決實際問題，並增強學生的數學應用意識和能力。過程與方法目標 通過利用配方法將...
第2課時配方法 教案
知識與技能 掌握用配方法解一元二次方程.過程與方法 理解通過變形運用開平方法解一元二次方程的方法，進一步體驗降次的數學思想方法.情感態度 在學生合作交流過程中，進一步增強合作交流意識，培養 精神，增強數學學習的樂趣.教學重點 用配方法解一元二次方程.教學難點 用配方法解一元二次方程的方法和技巧.一 ...