教學案例：橢圓及其標準方程（一）
一、教學目標：
1、知識與技能目標：
（1）理解橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式推及其推導過程。
（2）能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握用待定係數法求橢圓的標準方程
2、過程與方法目標：
（1）通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；
（2）通過對橢圓標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，提高學生運用座標法解決幾何問題的能力，並滲透數形結合和等價轉化的數學思想方法。
3、情感態度與價值觀目標：
（1）通過橢圓定義的獲得培養學生探索數學的興趣.
（2）通過標準方程的推導培養學生求簡意識並能懂得欣賞數學的「簡潔美」.
（3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識.
二、教學重點、難點
1、教學重點：橢圓的定義及橢圓標準方程，用待定係數法和定義法求曲線方程。
2、教學難點：橢圓標準方程的建立和推導。
三、教學過程
1、設定情景，引出課題
（1）問題：2023年10月12日上午9時，「神州六號」載人飛船順利公升空，實現多人多天飛行，標誌著我國航天事業又上了乙個新台階，請問：「神州六號」飛船的執行軌道是什麼？
多**展示「神州六號」執行軌道**．
（2）複習舊知識：圓的定義是什麼？圓的標準方程是什麼形式？
（3）提出新問題：橢圓是怎麼畫出來的？橢圓的定義是什麼？它的標準方程又是什麼形式？引出課題：橢圓及其標準方程
2、小組合作，形成概念
動畫演示橢圓形成過程．
提問：點m運動時，f1、f2移動了嗎？點m按照什麼條件運動形成的軌跡是橢圓？
下面請同學們在繪圖板上作圖，思考繪圖板上提出的問題：
（1）在作圖時，視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點到兩定點距離之和符合什麼條件？其軌跡如何？
（2）改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？
（3）當繩長小於兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎？
學生經過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的**過程，得出這樣三個結論：
橢圓線段不存在並歸納出橢圓的定義：平面內與兩個定點、的距離的和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距．
3、研討**，推導方程
（1）、知識回顧：利用座標法求曲線方程的一般方法和步驟是什麼？
（2）、研討**
問題：如圖已知焦點為的橢圓，且=2c,對橢圓上任一點m，有
，嘗試推導橢圓的方程。
思考：如何建立座標系，使求出的方程更為簡單？
將各組學生的討論方案歸納起來評議，選定以下兩種方案，由各組學生自己完成設點、列式、化簡。
方案一方案二
按方案一建立座標系，師生研討**得到橢圓標準方程
+=1（），其中b2 = a2－c2 ( b > 0 )；
選定方案二建立座標系，由學生完成方程化簡過程，可得出+=1，同樣也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。
教師指出：我們所得的兩個方程+=1和+=1（）都是橢圓的標準方程。
4、歸納概括，方程特徵
觀察橢圓圖形及其標準方程，師生共同總結歸納
（1）橢圓標準方程對應的橢圓中心在原點，以焦點所在軸為座標軸；
（2）橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；
（3）橢圓標準方程中三個引數a,b,c關係： ；
（4）橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定；
（5）求橢圓標準方程時，可運用待定係數法求出a,b的值。
在歸納總結的基礎上，填下表
5、例題研討，變式精析
例1、 求適合下列條件的橢圓的標準方程
（1）兩個焦點的座標分別是，橢圓上一點p到兩焦點距離和等於10。
（2）兩焦點座標分別是，並且橢圓經過點。
（3）。
例2、（1）若橢圓標準方程為及焦點座標。
（2）若橢圓經過兩點求橢圓標準方程。
（3）若橢圓的乙個焦點是，則k的值為 。
（a）（b）8 （c）（d）32
6、變式訓練，探索創新
寫出適合下列條件的橢圓標準方程
（1），焦點在x軸上；
（2）焦點在x軸上，焦距等於4，並且經過點p；
7、小結歸納，提高認識
1．知識總結：
橢圓的定義，標準方程
2．思想方法總結：
教師根據學生的總結做適當補充、歸納、點評。
8、作業訓練，鞏固提高
課本第53頁習題2.2第1題、第2題
課後思考題：
1、 知是橢圓的兩個焦點，ab是過的弦，則周長是 。
（a）2a（b）4a（c）8a（d）2a+2b
2、的兩個頂點a，b的座標分別是邊ac，bc所在直線的斜
率之積等於，求頂點c的軌跡方程。
9、教學設計說明
橢圓是圓錐曲線中重要的一種，本節內容的學習是後繼學習其它圓錐曲線的基礎，座標法是解析幾何中的重要數學方法，橢圓方程的推導是利用座標法求曲線方程的很好應用例項。本節課內容的學習能很好地在課堂教學中展現新課程的理念，主要採用學生自主**學習的方式，使培養學生的探索精神和創新能力的教學思想貫穿於本節課教學設計的始終。
橢圓是生活中常見的圖形，通過實驗演示，創設生動而直觀的情境，使學生親身體會橢圓與生活聯絡，有助於激發學生對橢圓知識的學習興趣；在橢圓概念引入的過程中，改變了直接給出橢圓概念和動畫畫出橢圓的方式，而採用學生動手畫橢圓並合作**的學習方式，讓學生親身經歷橢圓概念形成的數學化過程，有利於培養學生觀察分析、抽象概括的能力。
橢圓方程的化簡是學生從未經歷的問題，方程的推導過程採用學生分組**，師生共同研討方程的化簡和方程的特徵，可以讓學生主體參與橢圓方程建立的具體過程，使學生真正了解橢圓標準方程的**，並在這種師生嘗試**、合作討論的活動中，使學生體會成功的快樂，提高學生的數學**能力，培養學生獨立主動獲取知識的能力。
設計例題、習題的研討**變式訓練，是為了讓學生能靈活地運用橢圓的知識解決問題，同時也是為了更好地調動、活躍學生的思維，發展學生數學思維能力，讓學生在解決問題中發展學生的數學應用意識和創新能力，同時培養學生大膽實踐、勇於探索的精神，開闊學生知識應用視野。
橢圓定義及其標準方程教學案例
橢圓定義及其標準方程 第1課時 教學案例 一 教學背景 結合新課程標準的精神，我們不難發現數學教學 不應只限於接受 記憶 模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索，動手實踐 合作交流 閱讀自學等學習數學的方式，使學生的學習過程成為教師引導下的 再創造 過程，要設立 數學探索 教學建模等學習活動，讓學...
橢圓及其標準方程學案
2.2.1 橢圓及其標準方程導學案 組名 數學年紀 高二年級組 學習目標 1 了解橢圓的實際背景，經歷從具體情景中抽象出橢圓模型的過程 2 使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程及其推導過程 重點 難點 重點 橢圓定義及其標準方程 難點 橢圓標準方程的推導過程 學習過程 一 課前準備 由學生完成 ...
橢圓及其標準方程導學案
2.1 1橢圓及其標準方程 一 教學目標 1.了解橢圓的實際背景，通過作圖 抽象出橢圓的定義，了解橢圓標準方程的推導及化簡過程 2 掌握橢圓的定義及其標準方程 教學重點 橢圓的定義和標準方程的理解與應用 教學難點 橢圓標準方程的靈活運用 課前知識準備 1.平面內，到定點的距離等於定長的點的軌跡是 2...