山東省鄒平縣第一中學李鋒 256200
基本不等式是高中階段的重要內容，是學生不容易掌握的重點知識之一，關鍵是其變形靈活，形式多姿多樣，基本不等式「」溝通了兩個正數的「和」與「積」之間的關係，利用它可以解決求最值或者不等式證明問題.在運用基本不等式解題時，我們常常會遇到題中某些式子不便於套用公式，或者不便於利用題設條件，此時需要對題中的式子適當進行拼湊變形，造條件滿足應用情境後再解決問題. 因此需要掌握一些變形技巧，注意三大方面.
乙個技巧
運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是， 逆用就是等．還要注意「添、拆項」技巧和公式等號成立的條件等．
兩個變形
(1) ,即調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數；（當且僅當時取等號）
(2) （當且僅當時取等號)．
這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們．
三個注意
(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提「一正、二定、三相等」的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．
(2)在運用基本不等式時，要特別注意「拆」「拼」「湊」等技巧，使其滿足基本不等式中「正」「定」「等」的條件．
(3)連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．下面舉例析之.
一、 注意運用不等式鏈
從某種意義上來講要學好基本不等式的變形關鍵是掌握上述兩個不等式鏈.不等式中的常見變形主要圍繞這兩個基本不等式鏈進行.
例1 已知，，，求的最大值.
解析：由，，又，因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.
評注：本題利用基本不等式鏈簡化了問題，是題目的證明思路一目了然.
二、注意結論成立的條件
對來講，一是要求，二是和或積或平方和為定值，三是等號要成立即.即所謂的一正、二定、三相等；但是對不等式來講均可.
例2 求函式的最值.
錯解：當且僅當即時取等號.
所以當時，y的最小值為25，此函式沒有最大值.
錯因分析： 上述解題過程中應用了基本不等式，卻忽略了應用基本不等式求最值時的條件—兩個數都應大於零，因而導致錯誤.因為函式的定義域為，所以必須對的正負加以分類討論.
正解： （1）當時，，
當且僅當即時取等號.所以當時，.
（2）當時，，，
.當且僅當，即時取等號，所以當時，.
評注：在利用基本不等式鏈時，一定要注意使用範圍.
例3 已知，且，求的最小值.
錯解： ，且， .
故 .
錯因分析：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤.
正解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， .
評注：在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法.
三、要掌握三種拼湊方法
由基本不等式鏈可以看出在運用基本不等式解決問題時主要是湊定和、定積或平方和為常數.
例4 當時，求的最大值.
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值.注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可..
當，即時取等號 ，所以當時，的最大值為8.
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值.
例5 已知，求函式的最大值.
解析：因，所以首先要「調整」符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，，
當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，.
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的係數，使其積為定值.
例6 、已知，為正實數，且，求的最大值.
解析：因條件和結論分別是二次和一次，故採用公式.同時還應化簡中前面的係數為，.下面將，分別看成兩個因式：則，
當且僅當且，即，時，等號成立.
所以的最大值為.
評注：本題注意到適當新增常數配湊後，兩項的平方和為常數，故而進行變形利用基本不等式鏈解決問題.
鏈結練習
1、 已知，求函式的最小值.
解：因為，所以.
所以.當且僅當時，即，上式取「=」，故.
2、已知，，求函式的最大值.
解：利用不等關係， ，
當且僅當且，即，時，等號成立.
綜上可見，許多貌似繁難的不等式問題，運用基本不等式鏈，恰當拼湊，可創造性地使用基本不等式，輕鬆獲解.這樣既開拓了學生的思路，又活躍了學生的思維，培養了學生的數學能力.
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