例談尋找等量關係的方法

方程（組）是解決實際問題的乙個有效數學模型.列方程（組）的關鍵是挖掘出隱含在題目中的等量關係.尋找等量關係有三種常用方法：

譯式法、列表法和圖示法.解題時有意識的學習使用這些方法，可以有效的幫助我們分解難點，尋找出等量關係，進而列出方程（組）求解.

一、譯式法

例1 4輛小卡車和5輛大卡車共27噸；6輛小卡車和10輛大卡車共運貨51噸.問小卡車和大卡車每輛每次各運多少噸？

分析：本題等量關係比較明顯，只需要直接按照題意把日常用語譯成代數語言即可.設小卡車和大卡車每輛每次分別運x、y噸.

則「4輛小卡車和5輛大卡車共27噸」可翻譯成數學式子：；「6輛小卡車和10輛大卡車共運貨51噸」可翻譯成數學式子：.由這兩個式子組合列出二元一次方程組即可求解.

解：略.

例2 某種商品因換季準備打折**，如果按定價的七五折**將賠25元；而按定價的九折**將賺20元.問這種商品的定價是多少？進價是多少？

分析：經濟類問題首先要熟記相關公式，弄清定價、售價、進價和利潤等各量之間的關係.可設這種商品的定價為x元，進價為y元，則「按定價的七五折**將賠25元」可翻譯成數學式子：

；「按定價的九折**將賺20元」可翻譯成數學式子：.把這兩個式子組合成方程組即可求解.

解：略.

評注: 對實際問題不要產生畏懼心理，不要想一口吃個「胖子」，要一步一步走下去，首先，要多看幾遍題目，審清題意，先列出「文字」等量關係，然後用代數式逐步替換，當代數式把「文字」替換完了，方程（組）也就列出來了.這種將關鍵詞語譯成代數式列方程（組）解決實際問題的方法稱為「譯式法」.

譯式法使用非常普遍，對於大多數基礎題目較為有效.

二、列表法

例3 某日小偉和爸爸在超市買12袋牛奶24個麵包花了64元.第二天他們又去超市時，發現牛奶和麵包均打八折，這次他們花了60元卻比上次多買了4袋奶3個麵包.求打折前牛奶和麵包的單價？

分析：設打折前牛奶的單價為x元，麵包的單價為y元.可列表如下

並根據上表可得方程組

解：略.

評注：列表法是指將題目中數量及其關係填在**內,再據此逐層分析,找到各量之間的內在相等關係,列出方程（組）的方法.列表時分類整理排列，條理清晰，優點明顯.

尤其對於題目較為複雜，等量關係較為隱蔽的題目效果較好.

三、圖示法

例4 甲、乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步.相向而行，每隔2分二人相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲乙每分各跑多少圈？

分析：根據題意可以分別畫出甲、乙相向而行、同向而行時的示意圖（如圖1和圖2）

如果設甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，根據圖1可得；根據圖2可得.

評注：圖示法是指將條件及它們之間的內在聯絡用簡單明瞭的示意圖表示出來,然後據圖找等量關係列方程（組）的方法.圖示法直觀、明了，是解決行程等問題的常用方法.

例5 從甲地到乙地的路有一段上坡與一段平路，如果保持上坡每小時行3千公尺，平路每小時行4千公尺，下坡每小時行5千公尺，那麼從甲地到乙地需行33分，從乙地到甲地需行23.4分，從甲地到乙地的全程是多少？

分析：設上坡路程為x千公尺，平路路程為y千公尺，可以用圖示法表達出各部分的時間（如圖3），也可以列表如下：

還可以根據題意得到「文字」等量關係:

上坡時間＋平路時間＝，平路時間＋下坡時間＝再譯成數學式子.更可以結合使用.

綜上可以得到方程組.

解：略.

評注: 對於較為複雜的題目，可把三種方法結合使用.這三種方法在突破等量關係這一難點問題上，體現的是分步、分層、分散的轉化思想，不論容易題、難題，都非常適用.

同學們開始接觸這些方法時可能覺得有些繁瑣，如果有意識加強這方面的訓練，形成習慣，自然會省時省力，這類問題也就會迎刃而解了.