三次函式性質的探索
我們已經學習了一次函式，知道圖象是單調遞增或單調遞減，在整個定義域上不存在最大值與最小值，在某一區間取得最大值與最小值．那麼，是什麼決定函式的單調性呢？
利用已學過的知識得出：當k>0時函式單調遞增；當k<0時函式單調遞增；b決定函式與y軸相交的位置．
其中運用的較多的一次函式不等式性質是：在[m，n]上恆成立的充要條件
接著，我們同樣學習了二次函式，圖象大致如下：
圖1圖2
利用已學知識歸納得出：當時(如圖1)，在對稱軸的左側單調遞減、右側單調遞增，
對稱軸上取得最小值；
當時(圖2)，在對稱軸的左側單調遞增、右側單調遞減，
對稱軸上取得最大值．
在某一區間取得最大值與最小值．
其中a決定函式的開口方向，a、b同時決定對稱軸，c決定函式與y軸相交的位置．
總結：一次函式只有乙個單調性，二次函式有兩個單調性，那麼三次函式是否就有三個單調性呢？
三次函式專題
一、定義：
定義1、形如的函式，稱為「三次函式」（從函式解析式的結構上命名）。
定義2、三次函式的導數，把叫做三次函式導函式的判別式。
由於三次函式的導函式是二次函式，而二次函式是高中數學中的重要內容，所以三次函式的問題，已經成為高考命題的乙個新的熱點和亮點。特別是文科。
系列**1：從最簡單的三次函式開始
反思1：三次函式的相關性質呢？
反思2：三次函式的相關性質呢？
反思3：三次函式的相關性質呢？
（2012天津理）（4）函式在區間(0,1)內的零點個數是 b
（a）0b）1
（c）2d）3
系列**2：**一般三次函式的性質：
先求導1．單調性：
（1）若，此時函式在r上是增函式；
（2）若，令兩根為且，
則在上單調遞增，在上單調遞減。
2．極值點的個數：若函式f(x)在點x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，則稱函式f(x)在點x0處取得極大值（或極小值），稱點x0為極大值點（或極小值點）。
（1）若，此時函式無極值；三次函式在上不存在極值點。
（2）若，三次函式在上的極值點要麼有兩個。
且兩根為且，
此時函式在處取極大值，簡言之：波峰是為極大值
在處取極小值，簡言之：波谷是為極小值
論證如下：
令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的極值點就是方程 f/（x）=0的實根。
①當δ=4b2-12ac＞0時，方程f/（x）=0有兩個不等的實根，記為x1、x2，
則x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的兩個極值點；
②當δ=4b2-12ac =0時，該方程有兩個等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上單調增，
此時y=f（x）沒有極值點；
③當δ=4b2-12ac＜0時，f/（x）=0無實根，f(x)沒有極值點，結論得證。
3.奇偶性：函式當且僅當時是奇函式。
4．對稱性：函式圖象關於點中心對稱（了解）
證明：三次函式關於點（m，n）對稱的充要條件是，即
+，整理得，
據多項式恒等對應係數相等,可得
且=，從而三次函式是中心對稱曲線，且對稱中心是；
證明：設函式的對稱中心為（m，n）。
按向量將函式的圖象平移，則所得函式是奇函式，所以
化簡得：
上式對恆成立，故，得，。
所以，函式的對稱中心是（）。
實際上：其導函式為對稱軸為，所以對稱中心的橫座標也就是導函式的對稱軸，可見，y＝f(x)圖象的對稱中心在導函式y＝的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點。
由上又可得以下結論：
是可導函式，若的圖象關於點對稱，則圖象關於直線對稱.
證明的圖象關於對稱，則
圖象關於直線對稱.
若圖象關於直線對稱，則圖象關於點對稱.
證明圖象關於直線對稱，則，
，， 圖象關於點對稱.
這是因為：奇函式的導數是偶函式，偶函式的導數是奇函式，週期函式的導數還是週期函式
系列**3：三次函式f（x）圖象的切線條數
由三次函式的中心對稱性可知：過三次函式的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條；
而過三次曲線上除對稱中心的任一點與該三次曲線相切的直線有二條。
例.已知曲線y＝ x3/3＋4/3，求曲線在點（２，４）處的切線方程
解：f（x）＝x2，f（２）＝４，
曲線在點（２，４）處的切線斜率為k＝f（２）＝４
∴代入直線方程的斜截式，得切線方程為：y－４＝４（x－２），
即 y＝４x－４
變式：已知曲線y＝x3/3＋4/3，則曲線過點（２，４）的切線方程——————。
錯解：依上題，直接填上答案４x－y－４＝０
錯因剖析：如下圖所示，在曲線上的點a處的切線與該曲線還有乙個交點。這與圓的切線是有不同的。
點（２，４）在曲線y＝x3/3＋4/3上，它可以是切點也可以不是。
正確解法：設過點（２，４）的切線對應的切點為（x0，x03/3＋4/3），
斜率為k=x02，切線方程為y -（x03/3＋4/3 ）=x02（x-x0）
即y=x02x- 2x03/3+4/3
點（2，4）的座標代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3，
2 x03-6 x02+8=0 ， ∴x03-3x02+4=0，
又∵x03+1-（3x02-3）=0
（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0
∴（x0+1）（x02-4x0+4）=0 ∴x0=-1或x0=2
∴切線的方程為4x-4-y=0或x-y+2=0
點評：乙個是「在點（2，4）」、乙個是「過點（2，4）」，一字之差所得結果截然不同。
系列**4：一般三次函式的影象：
從數形結合的視角看三次方程的實數根：
三次函式y=f（x）的圖象與x 軸交點個數
交點個數的本質是多項式ax3+bx2+cx+d在實數集上怎樣進行因式分解，
記ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），
（ⅰ）若x1≠x2≠x3，則交點為3個；
（ⅱ）若x1、x2、x3中有兩個相等，不妨x1=x2≠x3，則交點為2個。
（ⅲ）若x1=x2=x3，則交點為1個；
（ⅳ）若f（x）=a（x-x0）（x2+dx+e），且有d2-4e＜0，y=f（x）的圖象與x軸只有乙個交點。
（1）若，方程有且只有乙個實數解；
（2）若，令兩根為且，
①若，即函式極大值點和極小值點在軸同側，圖象均與軸只有乙個交點，所以原方程有且只有乙個實根。則方程有且只有乙個實數解，且，
②若，則方程有三個不同的實數解，且有，
③若，則方程有兩個不同的實數解
由影象能夠**出在區間的最大值與最小值嗎？
函式若，且，則
。拉格朗日中值定理：若函式滿足如下條件：
（i）在閉區間上連續；
（ii）在開區間內可導；
則在內至少存在一點，使得.
請你掌握：三次函式解析式的形式
（1）一般形式：
（2）已知函式的對稱中心為，則
（3）已知函式圖象與軸的三個交點的橫座標，則
（4）已知函式圖象與軸的乙個交點的橫座標，則
（2012全國大綱版 10）已知函式的影象與軸恰有兩個公共點，則
a．或2b．或3c．或1 d．或1
【解析】因為三次函式的影象與軸恰有兩個公共點，結合該函式的影象，可得極大值或者極小值為零即可滿足要求。而，當時取得極值
由或可得或，即。答案a
（2012福建文）12.已知f（x）=x-6x+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.現給出如下結論：
①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正確結論的序號是
abcd.②④
【解析】，單調遞增，單調遞減，單調遞增，又因為，所以 ，，
【法一】，，．
【法二】又因為，所以為正數，所以為正數，又因為，，．
【點評】本題考查運用導數分析函式的能力，數形結合及代入轉化的能力．【答案】a
（2012重慶理卷）（8）設函式在上可導，其導函式為，且函式的圖象如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是
（a）函式有極大值和極小值
（b）函式有極大值和極小值
（c）函式有極大值和極小值
（d）函式有極大值和極小值
（2012重慶文）
設函式f（x）在r上可導，其導函式為f′（x），且函式f（x）在x=-2處取得極小值，則函式y=xf′（x）的圖象可能是（ ）
a. b c d
高考含參三次函式題型分析
我們知道導數是研究函式的重要工具，三次函式的導數是二次函式，正因如此，三次函式問題的解決往往關鍵轉化為二次函式問題，如二次函式方程根的問題，二次不等式解集問題等常見題型。
首先，回顧一下三次函式圖象
【題型1】含參三次函式單調性問題
例一 (08全國文 21 )
已知函式f(x)=x3+a x2+x+1,ar.
反比例函式第三次
一 選擇題 1.一次函式和反比例函式在同一直角座標系中的圖象大致是 2.如圖，過y軸正半軸上的任意一點p，作x軸的平行線，分別與反比例函式的圖象交於點a和點b，若點c是x軸上任意一點，連線ac bc，則 abc的面積為 a 3b 4c 5d 6 3.已知點a x1，y1 b x2，y2 是反比例函式...
補充材料 一元三次方程與一元三次函式
第一講一元三次函式與一元三次方程 一 知識要點 在初中，我們已經學習了一元二次函式以及一元二次方程,並且對其二次函式的性質以及二次方程的解法有很深入的了解,今天我們來學習一元三次函式與一元三次方程,下面先為大家介紹一些相關的知識點 1 一元三次函式解析式的兩種形式 零點式 一般形式 2 一元三次方程...
函式性質總結
單調性1 單調性的要概念 對於函式的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值 若當 時，都有 則說在這個區間上是增函式 若當 時，都有 則說在這個區間上是減函式.典型考題 利用單調性解不等式 函式在定義上的增函式，解不等式 2 復合函式單調性的判斷 同增異減 例 求函式的單調區間 變式提公升 已知函...