第一講一元三次函式與一元三次方程
一、 知識要點
在初中，我們已經學習了一元二次函式以及一元二次方程,並且對其二次函式的性質以及二次方程的解法有很深入的了解,今天我們來學習一元三次函式與一元三次方程,下面先為大家介紹一些相關的知識點：
(1) 一元三次函式解析式的兩種形式：
(零點式);
. (一般形式).
(2)一元三次方程根的判定方法
方程根的個數可用判別式與0的大小來判斷．
方程根的個數也有判別式，但其判別式結構複雜，不易掌握，一般利
用其對應的一元三次函式的草圖來判定根的個數．
注意：一元三次方程根的求解有相應的公式計算,但是其公式相對複雜,在這裡我們不作介紹,另外一元三次函式的草圖往往要借助導數(以後學)來畫，不過在知道三次函式與x軸交點的情況下，我們是可以利用標根法畫其函式草圖((描點法此時畫的不夠準確) .
思考1 : 1．請同學們畫出: 的函式草圖．
2．函式的圖象與曲線有幾個交點？
(3)一元三次方程韋達定理: 設一元三次實係數方程根分別為,則有以下成立:
思考2 :如何證明一元三次方程韋達定理?
推廣結論: 設一元次實係數方程的n個根分別為,則有以下成立:
思考3 :如何證明韋達定理推廣定理?
(4)一元三次方程韋達定理逆定理:
若則是方程的根．
思考4:韋達定理逆定理的推廣定理如何表述?
(4)一元三次方程有理根定理：如果一元三次整係數( 即係數都為整數);
方程存在有理根,則必有．
思考5:如何證明該定理?
證明思路1: 利用因式定理;
證明思路2: 利用簡單的數論知識．
(5) 一元三次方程有理根定理的推廣:
若整係數存在有理根，則有，
思考６：求方程的有理根．
思考7 : 求方程：的有理根．
思考８：(2023年清華大學)求證：當為奇數時，證明：方程與軸交點的橫座標為無理數．
思考9：已知是方程的根，求證：為無理數．
注意：涉及到整係數高次方程的有理根問題,借助這個定理,會使得題目變得更加簡單．
二、典例分析
1．一元三次函式滿足，則的值為多少？()
2．三次方程的兩個解為-1，-3，求常數及其餘的解．
3．已知方程的四個根滿足：，解這個方程．
4．試將因式分解．
5．(2023年上海交通大學)已知方程的三根分別為，且是不全為的有理數，求的值．
6．求乙個整係數多項式方程使得其有乙個根為．
7．證明：是無理數．
思考：證明是無理數是否還有其他方法？
8．求解方程組：
10．在實數範圍內解方程組．
11.(2023年北京大學)已知，，求證：
三、作業：
1．設的根為，求以為根的三次方程．
2．若時，是某乙個整係數多項式的根，求最高次數係數為1的次數最高低的多項式．
3．(2023年上海交通大學)設和的最大公因式為，最小公倍式為，求的值．
4．證明：是無理數．
5．(2023年北約)以和為根的整係數方程的最小次數為多少？
6．已知有理數滿足：為整數，求證：．
（提示：令，又，，，利用韋達定理逆定理結合有理根定理）
7．在實數範圍內解關於的方程組
（提示：可以看成方程的三根，直接應用韋達定理，求）
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