難點18 不等式的證明策略
不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，純不等式的證明，歷來是高中數學中的乙個難點，本難點著重培養考生數學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.
●難點磁場
(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.
求證：(a+)(b+)≥.
●案例**
［例1］證明不等式(n∈n*)
命題意圖：本題是一道考查數學歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學生觀察能力、構造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.
知識依託：本題是乙個與自然數n有關的命題，首先想到應用數學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等.
錯解分析：此題易出現下列放縮錯誤：
這樣只注重形式的統一，而忽略大小關係的錯誤也是經常發生的.
技巧與方法：本題證法一採用數學歸納法從n=k到n=k+1的過渡採用了放縮法；證法二先放縮，後裂項，有的放矢，直達目標；而證法三運用函式思想，借助單調性，獨具匠心，發人深省.
證法一：(1)當n等於1時，不等式左端等於1，右端等於2，所以不等式成立；
(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2，
∴當n=k+1時，不等式成立.
綜合(1)、(2)得：當n∈n*時，都有1+＜2.
另從k到k+1時的證明還有下列證法：
證法二：對任意k∈n*，都有：
證法三：設f(n)=
那麼對任意k∈n * 都有：
∴f(k+1)＞f(k)
因此，對任意n∈n* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，
∴［例2］求使≤a(x＞0，y＞0)恆成立的a的最小值.
命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函式思想、以及學生邏輯分析能力，屬於★★★★★級題目.
知識依託：該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含於恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然後再利用函式思想和重要不等式等求得最值.
錯解分析：本題解法三利用三角換元後確定a的取值範圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的.其原因是：
(1)縮小了x、y的範圍；(2)這樣換元相當於本題又增加了「x、y=1」這樣乙個條件，顯然這是不對的.
技巧與方法：除了解法一經常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若引數a滿足不等關係，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕鬆地解決這一類不等式中所含引數的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化.
解法一：由於a的值為正數，將已知不等式兩邊平方，得：
x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y
∴x，y＞0，∴x+y≥2
當且僅當x=y時，②中有等號成立.
比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.
解法二：設.
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時「=」成立)，
∴≤1，的最大值是1.
從而可知，u的最大值為，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值為.
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化為+1≤a，
設=tanθ，θ∈(0，).
∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ=sin
又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=).
由③式可知a的最小值為.
●錦囊妙計
1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.
(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證.
(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關係，可以增加解題思路，開擴視野.
2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函式單調性法、判別式法、數形結合法等.
換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.
凡是含有「至少」「惟一」或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.
證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟、技巧和語言特點.
●殲滅難點訓練
一、填空題
1.(★★★★★)已知x、y是正變數，a、b是正常數，且=1，x+y的最小值為
2.(★★★★)設正數a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關係是
3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是
二、解答題
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
不等式證明
第四章微積分中值定理與證明 4.1 微分中值定理與證明 一基本結論 1 零點定理 若在連續，則，使得 2 最值定理 若在連續，則存在使得 其中 分別是在的最小值和最大值 3 介值定理 設在的最小值和最大值分別是，對於，都存在使得 或者 對於，都存在使得 4 費瑪定理 如果是極值點，且在可導，則 5 ...
證明不等式
20.已知函式 i 當時，若函式在其定義域內是增函式，求b的取值範圍 ii 若的圖象與x軸交於兩點，且ab的中點為，求證 20.1 由題意 在上遞增，對恆成立，即對恆成立，只需，當且僅當時取 的取值範圍為 2 由已知得，兩式相減，得 由及，得 令，且，在上為減函式，又，2009 遼寧理21 本小題滿...