怎樣用換元法證明不等式

陸世永我們知道,無論在中學,還是在大學,不等式的證明都是乙個難點。人們在證明不等式時創造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂「換元法」就是根據不等式的結構特徵,選擇適當的變數代換,從而化繁為簡,或實現某種轉化,以便證題。其換元的實質是轉化,關鍵是構造和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究物件,將問題移至新物件的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化,變得容易處理。

一、利用對稱性換元,化繁為簡

例1 設求證:.

分析:經過觀察,我們發現,把中的兩個互換,不等式不變,說明這是乙個對稱不等式,如果我們令則原不等式可化為:

.這是乙個較簡單而且容易與已知不等式聯絡的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令,則

,.時,有

；當時,有(否則中必有兩個不為正值,不妨設,

,則,這與矛盾), 因此,,

綜上所述,恒有

,把代入上式得:

.例2 設,求證:

.分析:類似於例1,我們不難發現,這也是乙個對稱不等式,因此可考慮令

則原不等式可化為2.這是乙個簡單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令則

,原不等式可化為:

,將代入上式得:,,

,又由已知條件可知,2成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。

對於類似於例1與例2的對稱不等式，可以結合不等式的具體形式換元，簡化不等式的結構，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3 已知是三邊的長，求證：

.分析:(如圖)作的內切圓,設為切點,

令 (其中

則原不等式可轉化為:

.利用重要不等式:可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。

證明:設為切點,令則原不等式可轉化為:

.又因為,則有

,，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時，我們可以根據題意結合幾何圖形進行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質來證明不等式。

三、借助三角函式的性質換元

例4 已知: 求證: .

分析:由於並且不等式中有因此我們聯想三角函式的平方關係: .經過對比,發現相當於，相當於，因而可令： .

證明:令, 則

，可見原不等式成立。

例5 若求證: .

分析:由知點在圓的內部或邊界上,因此可以考慮變換: .

證明:設, 則

.從例4，例5可以看出，證明不等式時，我們可以結合已知條件或不等式的結構與三角函式的性質進行分析，利用三角函式換元，從而借助三角函式的性質來證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6 個正數它們的和是1,求證:

.分析:就這個不等式而言,我們容易想到均值不等式，但是直接用均值不等式卻難以證明這個不等式，因此我們把分子變為兩項，可令,

,（其中）.

證明:令則.

，因而原不等式成立。

例6說明，在證明不等式時，可以從不等式的形式出發，借助均值不等式進行換元。

怎樣用換元法證明不等式

陸世永我們知道,無論在中學,還是在大學,不等式的證明都是乙個難點。人們在證明不等式時創造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。所謂 換元法 就是根據不等式的結構特徵,選擇適當的變數代換,從而化繁為簡,或實現某種轉化,以便證題。其換元的實質是轉化,關鍵是構造和設元,理論依據是等...

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