第52煉等差等比數列的證明
在數列的解答題中，有時第一問會要求證明某個數列是等差等比數列，既考察了學生證明數列的能力，同時也為後面的問題做好鋪墊。
一、基礎知識：
1、如何判斷乙個數列是等差（或等比）數列
（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）
（2）通項公式：（等差），（等比）
（3）前項和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中項：數列從第二項開始，每一項均為前後兩項的等差（等比）中項
2、如何證明乙個數列是等差等比數列：
（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中項來進行證明，即，均有：
（等差） （等比）
二、典型例題：
例1：已知數列的首項．
求證：數列為等比數列
思路一：構造法，按照所給的形式對已知遞推公式進行構造，觀察發現所證的數列存在這樣的倒數，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數：
即，在考慮構造「」：
即數列是公比為的等比數列
思路二：代入法：將所證數列視為乙個整體，用表示：
，則只需證明是等比數列即可，那麼需要關於的條件（首項，遞推公式），所以用將表示出來，並代換到的遞推公式中，進而可從的遞推公式出發，進行證明
解：令，則
遞推公式變為：
是公比為的等比數列。即數列為等比數列
小煉有話說：
（1）構造法：在構造的過程中，要尋找所證數列形式的亮點，並以此為突破對遞推公式進行變形，如例1中就是抓住所證數列有乙個「倒數」的特點，進而對遞推公式作取倒數的變換。所以構造法的關鍵之處在於能夠觀察到所證數列顯著的特點並加以利用
（2）代換法：此方法顯得模式化，只需經歷「換元→表示→代入→化簡」即可，說兩點：一是代換體現了兩個數列的一種對應關係，且這種對應是同序數項的對應（第項對應第項）；二是經過代換，得到的遞推公式，而所證是等比數列，那麼意味著其遞推公式經過化簡應當形式非常簡單，所以儘管代入之後等式複雜，但堅定地化簡下去，通常能夠得到乙個簡單的答案。
個人認為，代入法是乙個比較「無腦」的方法，只需循規蹈矩按步驟去做即可。
例2：數列{}的前n項和為，（*）．設，證明：數列是等比數列，並求出的通項公式
思路：本題所給等式混合在一起，可考慮將其轉變為只含或只含的等式，題目中傾向於項的關係，故考慮消掉，再進行求解
解： ①
②①②可得：
即 是公比為的等比數列令代入（*）可得：
小煉有話說：（1）遇到混合在一起的等式，通常轉化為純（項的遞推公式）或者純（前項和的遞推公式），變形的方法如下：
① 消去：向下再寫乙個關於的式子（如例2），然後兩式相減（注意取值範圍變化）
② 消去：只需代換即可（）
（2）混合在一起的等式可求出，令即可（因為）
（3）這裡體現出的價值：等差等比數列的通項公式是最好求的：只需一項和公差（公比），構造出等差等比數列也就意味這其通項可求，而通過也可將的通項公式求出。
這裡要體會兩點：一是回顧依遞推求通項時，為什麼要構造等差等比數列，在這裡給予了乙個解釋；二是體會解答題中這一問的價值：乙個複雜的遞推公式，直接求其通項公式是一件困難的事，而在第一問中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進行構造輔助數列，進而求解原數列的通項公式。
所以遇到此類問題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜將通項一併求出來
例3：已知數列滿足：且，求證：為等差數列
解：設，則代入可得：
為等差數列，即為等差數列
例4：已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線於另一點（且，點列的橫座標構成數列，其中.
（1）求與的關係式；
（2）令，求證：數列是等比數列；
解：（1）曲線
（2），代入到遞推公式中可得：
是公比為的等比數列
小煉有話說：本題（2）用構造法比較複雜，不易構造出的形式，所以考慮用代入法直接求解
例5：已知數列滿足，判斷數列是否為等比數列？若不是，請說明理由；若是，試求出
解：設代入到可得：
而①時，，不是等比數列
②時，是等比數列，即為等比數列
例6：（2015山東日照3月考）已知數列中， ，求證：數列是等比數列
思路：所證數列為，可發現要尋找的是偶數項的聯絡，所以將已知分段遞推關係轉變為與之間的關係，再進行構造證明即可
證明：由可得：
數列是公比為的等比數列
例7：（2015湖北襄陽四中階段性測試）已知數列滿足，且對任意非負整數均有：
（1）求
（2）求證：數列是等差數列，並求出的通項公式
解：（1）令可得：
再令可得：
（2）思路：考慮證明數列是等差數列，則要尋找，的關係，即所涉及項為，結合已知等式令，利用（1）中的，將代換為即可證明，進而求出通項公式
證明：在中令得：
由（1）得代入可得：
數列是公差為的等差數列
例8：（2010 安徽，20）設數列中的每一項都不為0，求證：是等差數列的充分必要條件是：對都有
思路：證明充要條件要將兩個條件分別作為條件與結論進行證明，首先證明必要性，即已知等差數列證明恒等式。觀察所證等式可聯想到求和中的裂項相消。
所以考慮，然後恒等式左邊進行求和即可證明。再證明充分性，即已知恒等式證明等差數列：恒等式左側為求和形式，所以考慮向前寫乙個式子兩式相減，進而左邊消去大量的項，可得：
，通過化簡可得：，從而利用等差中項完成等差數列的證明
證明：先證必要性：是等差數列當時
左邊右邊
當時，考慮
左邊 右邊
所證恒等式成立
再證必要性：
① ②
①②可得：
兩邊同時乘以得：
③同理： ④
③-④可得：
為等差數列
小煉有話說：（1）本題證明等差數列所用的是等差中項的方法，此類方法多在數列中存在三項關係時使用
（2）在充分性的證明中連續用到了構造新式並相減的方法，這也是變形遞推公式的方法之一，當原遞推公式難以變形時，可考慮使用這種方法構造出新的遞推公式，尤其遞推公式的一側是求和形式時，這種方法可以消去大量的項，達到化簡遞推公式的目的。
例9：若數列的各項均為正數，（為常數），且
（1）求的值
（2）求證：數列為等差數列
解：（1）令，則有①
令，則有②
①②可得：
（2）思路：所給的遞推公式中含有，而且原遞推公式也很難變形，所以考慮再寫乙個式子兩式相減，構造新的遞推公式，仿照（1）進行變形。
解③④可得：
從而數列為等差數列
例10：在數列中，，且對任意，成等差數列，其公差為，若，求證：成等比數列
思路：由的公差為，而表示數列中相鄰的奇數項，所以可選擇它們的關係作為突破口，即，從而可以求出奇數項的通項公式，再利用可求出，進而均可用含的式子表示，再從定義出發即可證明其成等比數列
解：成等差數列且
成等差數列
成等比數列
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