精選例題高效複習
——「不等式證明」複習課教學設計
陳業代 （江蘇省南京市大廠高階中學）
一、教學內容分析
本節課安排在高三一輪複習階段，在複習完函式、三角函式與平面向量後進行的．是對不等式證明方法的歸納總結，使學生對不等式證明有個系統的認識，在此基礎上，一方面加強學生對不等式證明基本方法能力的培養，另一方面，通過**不等式證明方法，滲透數形結合思想，為後面的複習啟到很好的鋪墊作用．
二、學生學習情況分析
學生在高一學完了《不等式的性質與證明》後，對不等式的性質和不等式基本證明方法有了一定的了解和把握，但學生素質參差不齊，又存在能力差異，導致不同學生對知識的領悟與掌握能力的差距很大．由於不等式證明的多樣性和靈活性，學生接受起來比較困難，因此在教學中教師始終貫徹著對他們學法的指導．通過對例題的一題多解，引導學生學會歸納、學會找出每種題型的規律，養成歸納、總結的習慣．
三、設計思想
1．儘管我們的教輔課本為學生提供了精心選擇的課程資源，但教輔課本僅是教師在教學設計時所思考的依據，在具體實施中，我們需要根據自己學生數學學習的特點，聯絡學生的學習實際，對教輔課本內容進行靈活處理，比如調整教學進度、整合教學內容等．
2．樹立以學生為主體的意識，實現有效教學．現代教學論認為，學生的數學學習過程是乙個學生已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程，只有學生主動參與到學習活動中，才是有效的教學．在本節課的設計中，首先設計一些能夠啟發學生思維的活動，學生通過觀察、試驗、思考、表述，體現學生的自主性和活動性；其次，設計一些問題情境，而解決問題所需要的資訊均來自學生的真實水平，要麼定位在學生已有的知識基礎，要麼定位在一些學生很容易掌握的知識上，保證課堂上大部分學生都能夠輕鬆地解決問題．隨著學生的知識和資訊不斷豐富，可以向學生介紹更多型別的問題情境或更難的應用問題情境，滲透數學思想，使學生學會問題解決的一般規律．
四、教學目標
1．通過複習不等式證明，使學生對不等式的證明有乙個清晰的全面的掌握，緩解因不等式證明較難引起的學生的心理不適應及不自覺的排斥情緒．
2．通過練習的設定，從解決簡單實際問題的過程中，讓學生體會到不等式證明的通性通法，讓學生有「法」可依，在此基礎上增加一點靈活性，激發學生學習興趣，引導學生自覺自主參與課堂教學活動．
3．通過例題分析、習題的鞏固訓練，培養學生觀察、類此、歸納、猜想推理能力，培養學生思維的靈活性和廣闊性及勇於探索的科學精神，提高學生整體素質．
五、教學重點和難點
教學重點：證明不等式的常用方法．
教學難點：不等式證明常用方法與技巧的綜合運用
六、教學過程設計
1、 課前準備
教師提供證明不等式的型別和方法，課後由學生分頭去查閱有關資料，如教材、高一學習用過的講義、自己身邊的參考書，通過自己的研究，分別選擇一至二道典型例題進行自我解答．
2、複習提問引入新課
（1)、不等式的證明方法有哪些？並作出解釋.
（2)這節課和同學們一道來複習不等式的幾種證明方法.請看這麼一道例題：
例：已知a，b，c，dr，求證：
【設計意圖】對高三學生而言，大部分同學對以上問題都不陌生，知道用什麼方法解題，但是對題型的規律性東西還未挖掘透，老師的任務就是給他們總結出規律性東西，教會他們見到題型該怎麼解，用什麼方法．
師：請問本題可以用什麼常規方法解決？
生1：這道題我覺得可以用作差的方法證明，證明如下：
方法1 （作差比較法）：因為a，b，c，dr
所以因此
【設計意圖】作差比較法是證明不等式最簡單的常規方法，是其他證明方法的根本，學生容易想到，也易於掌握．
師：證明本題還有什麼常規方法？
生2：還可以用綜合法解決，證明如下：
方法2 （綜合法）：由得，，
兩邊同時加上，則，即得到
．【設計意圖】綜合法是同學們最常用、也是最喜歡用的方法之一，通常要用到基本不等式，不過要經常提醒同學注意使用條件．
師：本題能否用分析法解決？
生3：我認為應該可以，證明如下：
方法3（分析法）：因為，所以只須證明
，然後兩邊平方再化簡得，
因為a，b，c，dr，所以上式顯然成立，因此命題得證．
【設計意圖】分析法是化解證明不等式疑難問題的常用方法，基礎不是很好的同學比較喜歡這一方法．但它對格式的書寫要求較高，通過這一例題訓練，讓學生進一步掌握分析法．
師：同學們再想一想，是否還有其他解決辦法呢？請同學們觀察不等式右邊特徵，你會想到什麼？
生4：好像和距離有關，又好像和圓有關．
師：這位同學說得好，下面大家和我一道來完成．
方法4（換元法）：
設，若再設，，其中
則【設計意圖】通過老師的提問，啟發學生動腦思考，促使學生展現自己的思維過程，從中發現閃光點，培養學生的思考能力和判斷能力．
師：同學們對剛才方法4的證法很欣賞，也許有同學會問這個換元法很好，怎麼想到的呢？其實我們是看到，才想到圓的引數方程．那麼，同學們再想一想，我們所學過的知識裡，還有哪個地方出現過兩個量的平方和再開方的？
（課堂上頓時熱鬧起來）
生5：我想起來了，應該是向量的模
師：你說得太好了！那麼怎麼用呢？（如何構造模型？）
方法5（構造法）： 設則
【設計意圖】通過老師提問和引導，能激發同學們思維的火花，讓學習數學成為一種樂趣，在數學學習過程中找到成就感．
師：同學們，這種證法精彩嗎？（全班響起雷鳴般的掌聲），當然這是我們大家集體智慧型的結晶，你們是最棒的！
師：同學們想不想再來兩個題鞏固一下所學的方法呢？
生6：當然願意！
3、 鞏固練習
練習1 已知在a，b，cr+，求證a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc
變式：，求證：
練習2 若x>0，y>0，且恆成立，求a的最小值
【設計意圖】鞏固剛才總結的證明不等式的常用方法，對所學知識進一步消化理解，反饋課堂效果，調節課堂教學．
4、課堂小結
進一步掌握和理解用比較法、綜合法、分析法、換元法、構造法等證明不等式、並達到靈活運用的目的．
【設計意圖】對知識和能力進行全面總結，使所學知識體系和學生的認知體系更加完整．
七、教學反思
眾所周知，數學複習課要比新授課難上得多，尤其是高三，前面已經過了第一輪詳細的複習，如果學生每節課都是被動地聽講、機械地模仿、重複地訓練，容易形成視聽疲勞，產生厭倦情緒，對課堂上的教學內容提不起興趣，上課走神，課堂氣氛猶如一潭死水，教師反覆強調的知識學生考試還是考不出來，面對高考中能力立意的試題，不考砸才怪呢！因此，在平時教學中特別是複習課上要經常恰當改變上課方式，如本節課模式的教學讓教師成為課堂上的組織者、學生行動的引路人、學生行為的評價者，讓學生成為學習研究的主人，課堂上師生互動、生生互動交流使學生在複習課上不感到枯燥且保持較高的積極學習的熱情，從而提高複習效率．
很顯然，本節課通過教師的適當點撥引導，使學生的水平發揮得淋漓盡致，學習能力得到較大的提高，有許多同學都想走上講台展示自己，但是，由於一節課時間有限，不能滿足多數同學慾望，另外也未能給同學更多的思考問題的時間，當然，也不排除個別同學由於學習能力較弱上課跟不上，這就需要我們教師走出「經驗型」教學的圈子，積極開展教學反思，反思教學過程中成功和失敗，多研究學生，找到乙個學生可接受、樂於接受的教學模式，真正做到師生互動、共同提高．
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
不等式證明典型例題
例1 已知，求證 證明 當且僅當時等號成立 點評在利用差值比較法證明不等式時，常採用配方的恒等變形，以利用實數的性質 例2 已知均為正數，且兩兩不等，求證.分析由於所證不等式兩端都是冪和積的形式，且為正數，可選用商值比較法.證明為不等正數，不失一般性，設，這時，由指數函式的性質可知 所以.即.例3 ...
不等式證明例題講解
例1 已知a，b r，求證a2 b2 ab a b 1 證明 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1，當且僅當a b 1時等號成立 評述這是乙個用求差比較法證明的不等式，對差式的變形是拆項和配方，以利用實數的性質 a2 0 此不等式的證明還可採用函式的方法 設f a a2 b2 ...