勾股定理及其逆定理是初中數學的重要定理之一，由於初學，加之滲透了數形結合的思想，同學們在應用其解題時往往會出現一些錯誤．這裡就這些常見的錯誤，結合例項給大家進行剖析．
一、對於公式切勿生搬硬套
例1 在rt△abc中，∠a＝90°，a＝6，b＝3，求c．
錯解：由勾股定理，得
． 剖析：本題錯在生搬硬套公式，只注意公式的表面形式，錯誤地認為c就一定是斜邊，而本題中實際上是∠a＝90°，即a才是斜邊，公式應為：b2+c2=a2．
正解：因為∠a＝90°，
所以由勾股定理，得b2+c2=a2；
所以．二、求邊漏解
例2 在rt△abc中，a＝6，b＝8，求c．
錯解：由勾股定理得：a2+b2=c2，從而．
剖析：本題也是錯在預設為∠c為直角，而事實上，本題並沒有明確告之哪個角是直角，因此由b＞a，∠b與∠c都可能為直角，這時應分情況討論．
正解：（1）當∠c=90°時，由勾股定理得，．
（2）當∠b=90°時，由勾股定理得，b2=c2+a2；
所以．三、「勾股定理」與其「逆定理」混淆不清
例3 在△abc中，a＝12，b＝5，c＝13，試判斷△abc是不是直角三角形．
錯解：因為a2+b2=122+52=169，c2=132=169，
所以a2+b2=c2．
由勾股定理可知△abc為直角三角形．
剖析：本題錯在混淆了勾股定理和它的逆定理，其實本題應依據勾股定理的逆定理來判斷△abc為直角三角形．正確的解法是把錯解中的最後一行改為：根據勾股定理的逆定理可知△abc為直角三角形．
四、推理錯誤
例4 已知：在△abc中，三條邊長分別為a、b、c，a=n2－1，b＝2n，c＝n2＋1（n＞1），求∠c的度數．
錯解：因為（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，
即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
所以a2+b2=c2，
所以由勾股定理逆定理可知∠c＝90°．
剖析：本題錯在推理錯誤，一開始列出（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2這個等式，其實就等於預設了a2+b2=c2，這是錯誤的，應像例3那樣推理．
正解：因為a2+b2=（n2-1）2+（2n）2＝n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1；
而c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
所以a2+b2=c2．
所以由勾股定理的逆定理可知∠c＝90°．
通過這些例項的剖析，望同學們仔細體會勾股定理及其逆定理的應用，避免出現類似錯誤．
勾股定理中的易錯題辨析
一、審題不仔細，受定勢思維影響
例1 在△abc中，的對邊分別為，且，則（ ）
（a）為直角 （b）為直角 （c）為直角 （d）不是直角三角形
錯解：選（b）
分析：因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標註為，因而有同學就習慣性的認為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導致錯誤.該題中的條件應轉化為，即，因根據這一公式進行判斷.
正解：，∴.故選（a）
例2 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.
錯解：第三邊長為.
分析：因學生習慣了「勾三股四弦五」的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5.但這一理解的前提是3、4為直角邊.
而本題中並未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊.
正解：（1）當兩直角邊為3和4時，第三邊長為
；（2）當斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為
.二、概念不明確，混淆勾股定理及其逆定理
例3 下列各組資料中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（ ）
（a）1、2、3 （b） （c） （d）
錯解：選（b）
分析：未能徹底區分勾股定理及其及逆定理，對概念的理解流於表面形式.判斷直角三角形時，應將所給資料進行平方看是否滿足的形式.
正解：因為，故選（c）
例4 在b港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8海浬的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海浬的速度前進，2小時後，甲船到m島，乙船到p島，兩島相距34海浬，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？
錯解：甲船航行的距離為bm=（海浬），
乙船航行的距離為bp=（海浬）.
∵（海浬）且mp=34（海浬）
∴△mbp為直角三角形，∴，∴乙船是沿著南偏東方向航行的.
分析：雖然最終判斷的結果也是對的，但這解題過程中存在問題.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據是勾定理的逆定理.
其形式為「若，則.錯解的原因在於未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，導致錯誤運用.
正解：甲船航行的距離為bm=（海浬），
乙船航行的距離為bp=（海浬）.
∵，∴，
∴△mbp為直角三角形，∴，∴乙船是沿著南偏東方向航行的.
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