第一部分數列概念
一、數列的概念
1.數列定義按一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每乙個數叫做這個數列的項.記作，簡記為，其中是數列的第項.
2.數列的兩個特性：
（1）有序性，乙個數列不僅與構成數列的「數」有關，而且與這些數的排列順序有關.
（2）可重複性，數列中的數可重複出現.
3.特殊函式
（1）解析式：.
（2）定義域：或它的有限子集.
二、數列的表示法
1．列表法
2．圖象法數列的每一項在直角座標系中有它的對應點，因此，數列可用一群孤立的點來表示.
3．通項公式（解析法） 若某數列的第項與之間的函式關係可以用乙個解析式表示，這個式子稱為這個數列的通項公式.
4．遞推公式法如果已知數列的首項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關係可用乙個公式來表示，那麼這個公式就叫做數列的遞推公式.
利用遞推公式可以求數列的某一項,也可以用來求它的通項公式.
舉例已知為常數，數列有下表確定：
試將**填寫完整，並作出這個數列的圖象.
解由題意，得解得
∴，從而，，，，.
數列的圖象如右圖.略.
說明列表、**和解析式（通項公式）是表示數列的常用方法.
三、數列的分類
1.按項數分數列按項數可分為有窮數列（項數有限）、無窮數列（項數無限）
2.按相鄰項大小關係分遞增數列（）、遞減數列（）、常數列（）、擺動數列.
3.按若干項變化規律分週期數列、非週期數列.
四、數列的前項和
1.數列前項和定義 .
2.與通項的關係
說明：利用數列的前項和求通項時，特別要注意是否也適合得出的表示式，若不適合，數列的通項公式就要用分段函式的形式給出.
五、兩個變換關係式
1.累加變換式
若數列有遞推關係，則其通項
.2.累乘變換式
若數列有遞推關係，則其通項
.第二部分等差數列
一、等差數列定義
1.文字內容如果乙個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等於同乙個常數，則數列叫做等差數列.
2.定義式 （，常數與無關）（或，）.
注：（1）定義中兩處關鍵：「第2項起」，「同乙個常數」.
（2）等差數列的公差是常數列；
（3）定義是證明等差數列的方法之一；
（4）定義證明等差數列的格式：
格式①： ；當時，∵（常數與無關）∴是為首相，以為公差的等差數列；
格式②： .對，∵（常數與無關）∴是為首相，以為公差的等差數列.
3.等差數列的一般形式
4.等差中項
（1）定義若、、成等差，則稱為與的等差中項且.
（2）性質 ①、、成等差數列.
②任意兩個實數有且只有乙個等差中項.
（3）可用來證明等差數列．即證：（或）.
二、通項公式
1.結論：，.
2.推導思路：
思路一迭代：；（了解）
思路二累加：；（重點掌握）
思路三遞推（不完全歸納）：，，，.（了解）
注：（1）公式中含有四個量、、、，「知三求一」；
（2）對應函式：，表明是的一次或常數函式；
（3）為等差數列.
3.等差數列的單調性
由於是的一次或常數函式：，，故
（1）遞增，其圖象為：略.
（2）常數列，其圖象為：略.
（3）遞減，其圖象為：略.
4.與通項有關的性質
（1）與的關係：；
事實上，，，兩式相減，得，故.
（2）若，則，反之未必；
事實上，，.
若，則，∴.
若，則.當時，必有；當時，未必有.
推論：若，則，反之未必；
（3）子數列：
等差數列中每隔項抽出的各項按原順序排列後，仍成等差數列，公差為.
事實上，隔1項取，如：，公差為； 隔2項取，如：，公差為；
隔3項取，如：，公差為； …，隔項取，如：，公差為.
特別地，等差數列的奇數項成等差數列，偶數項成等差數列.
（4）派生數列：
①成等差成等差數列（、為常數）；
②、成等差成等差數列，反之未必；
③為正項等比數列成等差數列.
三、前項和
1.推導：倒序相加．
2.結果
3.結果變形：
（1），當時，，當時，.
（2），表明是的二次、一次或常數函式，常令
.（3）．表明是的一次或常數函式.
注：（1）倒序相加是數列求和的重要方法之一．
（2）公式中含五個基本量：、、、、，「知三求二.
4.前項和最值及求法
（1）最值存在條件：①且時有最小值；②且時有最大值③當與同正時，為最小值，無最大值；④當與同負時，為最大值，無最小值；⑤當時，為常數列，習慣上認為無最值.
下面僅對情形①說明如下：
事實上，（其中），，，故時，有最小值.
（2）針對前兩種情況求最值的思路：
思路一：根據是的二次函式來求最大值或最小值；
思路二：當且時，求滿足的項數；且時求滿足的項數．
四、等差數列有關前項和的性質
1.每連續項和：、、…成等差；
2.若，且，則；
3.奇數項的和、偶數項的和性質：
定義，，則
（1）項數為偶數時，數列各項為：，，，，，，，．最中間的一對項為、，則有：
（即奇數項和等於奇數項項數乘以中間一對項的第一項）；
（即偶數項和等於偶數項項數乘以中間一對項的第二項）；
（即奇數項與偶數項的和之比等於中間一對項中第一項與第二項的比）；
（即偶數項和減去奇數項和等於它們的項數乘以公差）；
.（2）項數為奇數時，數列各項為共有個奇數項，個偶數項，最中間的一項為，則有：
（即奇數項和等於奇數項項數乘以中間項之積）；
（即偶數項和等於偶數項項數乘以中間項）；
（即奇數項與偶數項的和之比等於奇數項項數與偶數項項數比）；
（即奇數項和減去偶數項和等於中間項）；
.（3）兩個等差數列的前項和的比
設等差數列、的前項和分別為、，則或.
證明：；．
五、等差數列的判定方法小結
1.等差數列的證明方法：
（1）定義法：（或）是等差數列.
（2）等差中項公式法：（或）是等差數列.
3.僅適用於小題的其他方法：
（1）通項公式法：（為常數）是公差為的等差數列.
注：表明是的一次或常數函式.
（2）前項和公式法：（為常數）是公差為的等差數列.
證明：充分性： ∵，∴．
時， ∵，∴是以為首相，以為公差的等差數列；
必要性：∵是等差數列，設首項為，公差為，則，令，，則有.
注：表明是的二次、一次或常數函式.
六、其他
1.設元求數
（1）三個數成等差時，可設為，，；
（2）四個數成等差時，可設為，，，.
2.倒序相加求和
第三部分等比數列
一、等比數列的概念
1.等比數列定義：
（1）文字內容：如果乙個數列從起，每一項與它的的等於 ，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫做公比.
（2）定義式：若（，常數與無關）（或），則叫做等比數列．
注：（1）且；
（2）是常數列，反之未必；非零常數列既是等差又是等比數列.
2.等比數列一般形式：
二、等比中項概念
1.定義：若成等比數列，則叫與的等比中項．
2.表示式：，或．
3.等比中項性質：
（1）「」是「成等比」的必要不充分條件；
（2）當時，、有且只有兩個等比中項，當時，則沒有；
（3）證明三個數成等比的步驟：①判斷不為零；②證；
（4）可用來證明等比數列
即證：或.
三、等比數列的通項公式
1.公式：.
注：公式中含四個基本量：，知三求一.
2.推導思路：
思路一（累乘法，掌握）；
思路二（迭代法，了解）；
思路三（遞推法—不完全歸納法，了解）
，，，…，.
3.特殊函式
指數型函式 .
事實上，，當時，是乙個指數函式，從而是乙個不為零的常數與指數函式之積，因此等比數列的圖象是函式圖象上一群孤立的點.
4.「」是「為等比數列」的充要條件.
四、有關等比數列通項公式的性質
設為等比數列，則
1.與的關係：；
2.奇數項同號，偶數項同號；
如，在和之間依次插入，，三個數，使這五個數成等比數列，則的正負情況是 ，的正負情況是 ，的正負情況是 .
3.若，則，反之未必；
推論：①若，則，反之未必；
②與首末兩項等「距離」的兩項之積都相等，都等於；
4.子數列、派生數列
設、為等比數列，則
①數列、都是等比數列；
②數列中每隔項抽出的各項按原順序排列後，仍成等比數列；
推論：奇數項成等比數列，偶數項成等比數列.
5.單調性：由於，故單調性同時取決於函式單調性和常數的符號，故
①當且或且時，為遞增數列；
②當且或且時，為遞減數列；
③當時，數列沒有單調性.
五、等比數列前項和公式
1.公式：；
注：（1）對情形很容易忽略．（2）公式中含五個基本量：，知三求二.
2.時公式的推導思路：
思路一（錯位相減）：重點掌握.
思路二（拆項法）：
； 思路三（合比定理）：
；注：（1）時，公式的一般形式；
（2）「」是「是公比的等比數列」的充要條件．
（3）錯位相減是數列求和的重要方法.
六、等比數列前項和公式常見性質
1.若某數列前項和公式為，則成等比數列.
2.若數列是公比為的等比數列，則
（1）.
（2）若項數為，則.
（3）每連續項和（均不為0）成等比數列.
3.設，，則
（1）若是偶數，則；（2）若是奇數，.
七、其它
1.三個數成等比時，可設為，，；
2.四個數成等比時，可設為，，，.
3.等比數列的證明方法
（1）定義法：是等比數列，或是等比數列.
（2）等比中項法：是等比數列，
或是等比數列.
4.僅適用於小題的其它判定方法
（1）通項公式法：是公比為的等比數列；
（2）前項和公式法：若是公比為的等比數列.
數列知識點總結
數列是高考試題中的重頭戲，每年的全國及各地的考題中必有涉及.從內容上看主要考查等差 比 數列的定義 通項 前項和公式 等差 比 數列的中項及數列的性質，佔分值約17分.因此學好數列這塊知識顯得尤為重要.為了讓學生更好地掌握數列，現將等差 比 數列的有關知識歸納總結如下.1.等差數列的定義與性質 定義...
數列知識點總結
1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若，則 2 數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為 3 若三個成等差數列，可設為 4 若是等差數列，且前項和分別為，則 5 為等差數列 為常數，是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求二次函式的最值 或者求出中...
數列總結知識點
數列的基本性質 等差數列 1.等差數列的判定方法 1 用定義 對任意的n,都有 d為常數 為等差數列 2 n 為等差數列 3 kn b k,b為常數 即為關於n的一次函式 為等差數列 2.常用性質 1 若數列,為等差數列,則數列,k,b為非零常數 均為等差數列.2 對任何m,n,在等差數列中,有,特...