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複雜線段比例式和等積式證明舉例
王仁巨集 義務教育初中幾何第二冊對簡單的線段比例式和等積式做了一些簡單介紹。但同學們解題中還會遇到一些複雜的線段比例式和等積式的證明。
例如等，證明這些等式的思想是將它們轉化為簡單的比例式和等積式加以證明，下面舉例說明這種證題思路。
一. 型等式的證明
例1. 如圖1所示，在△abc中，∠a的平分線交bc於p，∠a的外角平分線交bc延長線於q，o是pq之中點。
圖1 求證：
證明：因為ap平分
又因為o是斜邊pq之中點，連ao，得oa=op。因為
例2. 如圖2所示，已知△abc中，df⊥bc於f。
求證：圖2 證明：
二. 型等式的證明
例3. 如圖3所示，已知一直線截△abc的邊ab，ac和bc的延長線於f、e、d。
求證：圖3 證明：過點c作cg//fd，交ab於g。
三. 型等式的證明
例4. 如圖4所示，已知o是△abc內的一點，過o作ef、qp、gh分別平行於bc、ca、ab。
求證：圖4 分析：求證的是三個比的和為1，只要求得與這三個比的分母是同一條線段，並且分子線段的和等於分母線段即可。
證明：在中，
在△abc和△gof中，
四. 型等式的證明
例5. 如圖5所示，在銳角△abc中，高線be與cf相交於h，
求證：。
圖5 分析：求證式中的右端有線段的積，這使我們聯想到如能創造出相似三角形，則會有對應線段成比例，就會出現線段的乘積式，為此添輔助線於d，則出現相似三角形，而求證式中的右端均為相似三角形的邊，故可從相似三角形開始證明。
證明：過h作交bc於d。
則即1）
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