第十八章勾股定理
1. 知識總結
1. 勾股定理
內容：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
即：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那麼
2．勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形經過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
方法一方法二方法三
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為,
大正方形面積為， 所以
方法三：
，，化簡得證
3．勾股定理的應用
①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊
在中，，則，，
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係
③可運用勾股定理解決一些實際問題
5．勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長，，滿足，那麼這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。
注意：①勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較: 若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；
②定理中, ,及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，， 滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，這時為斜邊
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
6. 勾股數
滿足的三個正整數，稱為勾股數
常見的勾股數：；；；；9，12 ，15；9, 40, 41等
9. 勾股定理及其逆定理的應用
一. 選擇題
1．已知乙個rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
a、25b、14c、7d、7或25
2．等腰△abc的底邊bc為16，底邊上的高ad為6，則腰長ab的長為（ ）
a．10 b.12c.15d.20
3．下列說法正確的是（ ）
a．若 a、b、c是△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
b．若 a、b、c是rt△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
c．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
d．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
4．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是a． 0b． 1 c． 2d． 3
1、下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是rt△的是（ ）
a、a=1.5，b=2, c=3b、a=7,b=24,c=25
c、a=6, b=8, c=10 d、a=3,b=4,c=5
4、如圖，cd是rtabc的斜邊ab上的高，若ab＝17，ac＝15，求cd的長（ ）
a、 b、 c、17 d、7
5．把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（ ）
a． 2倍 b． 4倍c． 6倍d． 8倍
6．如圖，將一根24cm的筷子，置於底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值範圍是（ ）
a、h≤17cmb、h≥8cm c、15cm≤h≤16cm d、7cm≤h≤16cm
7．如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（ ）
a. 4 b. 6 c. 16 d. 55
8．如圖，將乙個邊長分別為4、8的長方形紙片abcd摺疊，使c 點與 a點重合，則eb的長是（ ）．
a．3 b．4 cd．5
9．如圖，每個小正方形的邊長為1，a、b、c是小正方形的頂點，
則∠abc的度數為（ ）
a．90° b．60° c．45° d．30°
10．△abc是某市在拆除違章建築後的一塊三角形空地.已知∠c=90°，ac=30公尺，ab=50公尺，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方公尺草皮元計算，那麼共需要資金（ ）.
a. 50元 b. 600元 c. 1200元 d. 1500
二. 填空題
6．如圖，以rt△abc的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為s1、s2、s3，且s1=4，s2=8，則ab的長為
8．如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數人為了避開拐角走「捷徑」，在花鋪內走出了一條「路」．他們僅僅少走了步路（假設2步為1公尺），卻踩傷了花草．
三. 解答題
1、已知：如圖，在△中，，，，於，求的長．
46．如圖所示，在四邊形abcd 中，∠a=60°，∠b=∠d=90°，
bc=2，cd=3，求ab的長.
7．如圖，鐵路上a，b兩點相距25km，c，d為兩村莊，da⊥ab於a，cb⊥ab於b，已知da=15km，cb=10km，現在要在鐵路ab上建乙個土特產品收購站e，使得c，d兩村到e站的距離相等，則e站應建在離a站多少km處？
8．「遠航」號、「海天」號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，「遠航」號每小時航行16海浬，「海天」號每小時航行12海浬，它們離開港口乙個半小時後相距30海浬．如果知道「遠航」號沿東北方向航行，能知道「海天」號沿哪個方向航行嗎？
10.乙個零件的形狀如圖，按規定這個零件中∠a與∠bdc都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：ad=4，ab=3,bd=5，dc=12 , bc=13，這個零件符合要求嗎？
11．如圖，有乙隻小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少公尺？（先畫出示意圖，然後再求解）
12．如圖，正方形abcd，e為bc中點，f為ab上一點，且bf=ab. 請問fe與de是否垂直?請說明。
13.如圖，某住宅社群在相鄰兩樓之間修建乙個上方是以ab為直徑的半圓，下方是長方形的仿古通道，已知ad=2.3公尺，cd=2公尺；現有一輛卡車裝滿家具後，高2.
5公尺，寬1.6公尺，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？請說出你的理由。
一架方梯長25公尺，如圖，斜靠在一面牆上，梯子底端離牆7公尺，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4公尺，那麼梯子的底端在水平方向滑動了幾公尺？（3）當梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動的距離相等時，這時梯子的頂端距地面有多高？
14．颱風是一種自然災害，它以颱風中心為圓心在周圍數十千公尺範圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220千公尺b處有一颱風中心，其中心最大風力為12級，每遠離颱風中心20千公尺，風力就會減弱一級，該颱風中心現正以15千公尺/時的速度沿北偏東30方向往c移動，且颱風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受颱風影響.
（1）該城市是否會受到這交颱風的影響？請說明理由.
（2）若會受到颱風影響，那麼颱風影響該城市持續時間有多少？
（3）該城市受到颱風影響的最大風力為幾級？
勾股定理知識總結與練習題
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